1、6.椭圆的焦点三角形初探一学习目标：掌握椭圆的焦点三角形及常见结论.二概念梳理: 焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：中，（1）. .（2）. 焦点三角形的周长为（3）.（4）. 焦点三角形的面积为：.设、是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，则当P为短轴端点时，最大.S|PF1|PF2|sin c|y0|，当|y0|b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；（5）. 假设焦点的内切圆半径为，则.（6）.焦半径公式:设是椭圆上一点，那么，进一步，有推导：根据两点间距离公式:，由于代入两点间距离公式可得，整理化简即可得. 同理可证得.（7）.设是椭圆上一点，那么，由于,故我们有（8
2、）若约定椭圆，分别为左、右焦点；顶点在第一象限；，则对于椭圆，离心率（9） 若，对椭圆有，若，对于椭圆，有， 若，对椭圆，有.（10） 对椭圆焦点三角形的内心的轨迹方程为.三典例分析例1已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（）A9B3C4D8解析：由焦点三角形面积公式得，故选：B例2已知椭圆，其左右焦点分别为，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则该椭圆的方程为（）ABCD解析：所以，而，所以可得，解得，由，得，所以该椭圆的方程为故选：A例3已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（）ABCD解析：又，所以，即，故E的离心率为
3、.故选：C.例4.椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆C上不与A、B重合的动点，则的最小值为_.解析：如图，由题意，设，由椭圆定义，在中，由余弦定理，当且仅当时取等号，此时P为椭圆的短轴端点，所以的最小值为. 例4图 例5图例5.椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在点P，使，则椭圆C的离心率的取值范围是_.解析：椭圆C上存在点P，使等价于最大张角大于等于60，如图，即，又，所以.例6.（2019全国1卷）已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，则C的方程为ABCD解：如图所示：设，由，代入焦半径公式到可得：.再由 .结合（1），（2）式可得，故，这样在三角形与三角形中分别使用
4、余弦定理可得:.小结：通过坐标表示出焦半径的关系，进而解出椭圆上点的坐标是解题的关键.例7.（2019全国三卷）设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为_.解：由已知可得，由焦半径公式可知设，由焦半径公式可知再代入椭圆方程可解得的坐标为例8已知椭圆：的左、右焦点分别是，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为()ABCD解析：是的中点，G是的重心，三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴知，则,设内切圆半径为r，则，椭圆的离心率为故选：A四习题演练1设椭圆的左右焦点分别为，点P在椭圆上，且满足，则的值是（）A14B17C20D23解析：由前述结
5、论可知，选D.2已知点、为椭圆的左、右焦点，若点为椭圆上一动点，则使得的点的个数为（）ABCD不能确定选B.3设椭圆的左、右焦点分别为,是上的点,则的离心率为 ( )A. B. C. D.解析：，选D3设为椭圆上一点，两焦点分别为，如果，则椭圆的离心率为（）ABCD解析：由于.故即.故选：A.4. 已知为椭圆的焦点，为上一点且,求此椭圆离心率的取值范围.解析：由椭圆的定义，得，平方得.由，是锐角，由余弦定理得，得 由，得， 是锐角， ，即且 .由可知 由可得 ，即，.则椭圆离心率的取值范围是.8椭圆的两焦点是、，为椭圆上与、不共线的任意一点，为的内心，延长交线段于点，则的值等于（）ABCD【详解】连接.在MF1I中,F1I是MF1N的角平分线,根据三角形内角平分线性质定理,，同理可得,故有，根据等比定理.故选：B4已知分别为双曲线的左右焦点，点在双曲线上，为的内心，点满足，若且，记的外接圆半径为，则的值为（）ABCD1【详解】设，由题意得，因为点满足，所以点G是的重心，则，又因为，所以轴，则的纵坐标是，所以，设，则，所以，即，则，由余弦定理得，即，解得或，所以，则，解得，故选：A