1、1.4生活中的优化问题举例基本练习夯基一、选择题1要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()A.cmBcmC.cmDcm答案D解析设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为Vx(400x2)(0x20)，V(4003x2)，令V0，解得x.当0x时，V0；当x20时，V0，所以当x时，V取最大值2(2015吉林市实验中学高二期中)如图是函数f(x)x3bx2cxd的大致图象，则x1x2()A.BC.D答案A分析由图象知f(1)f(0)f(2)0，解出b、c、d的值，利用x1和x2是f(x)0的根，使用根与系数的关系得到x1x2.解析f(x)x3bx2cxd，由图象知，f
2、(1)f(0)f(2)0，1bcd0，d0，84b2cd0，d0，b1，c2，f(x)x3x22x，f(x)3x22x2.由题意有x1和x2是函数f(x)的极值，x1和x2是f(x)0的根，x1x2，故选A.3用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为()A0.5mB1mC0.8mD1.5m答案A解析设容器底面相邻两边长分别为3xm、4xm，则高为(m)，容积V3x4x18x284x3，V36x252x2，由V0得x或x0(舍去)x时，V0，x时，V0，所以在x处，V有最大值，此时高为0.5m.4内接于半径为R的球且体积最大
3、的圆锥的高为()ARB2R C.RDR答案C解析设圆锥高为h，底面半径为r，则R2(hR)2r2，r22Rhh2，Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3，VRhh2.令V0得hR.当0h0；当h2R时，V0.因此当hR时，圆锥体积最大故应选C.5设圆柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面半径为()A.BC.D答案D解析设底面圆半径为r，高为h，则Vr2h，h.S表2S底S侧2r22rh2r22r2r2.S表4r，令S表0得，r，又当x(0，)时，S表0，当r时，表面积最小6福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：)为f(x)x3x28(0x5)，那
4、么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A8BC1D8答案C解析瞬时变化率即为f (x)x22x为二次函数，且f (x)(x1)21，又x0,5，故x1时，f (x)min1.二、填空题7用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，该长方体的最大体积是_答案3m3解析设长方体的宽为x，则长为2x，高为3x(0x)，故体积为V2x26x39x2，V18x218x，令V0得，x0或1，0x0)，yx2，由y0，得x25，x(0,25)时，y0，x(25，)时，y0，所以x25时，y取最大值9.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x
5、与h的比为_答案11解析设窗户面积为S，周长为L，则Sx22hx，hx，窗户周长Lx2x2hx2x，L2.由L0，得x，x时，L0，当x时，L取最小值，此时1.三、解答题10(20142015福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x10)万元之间满足：yf(x)ax2xbln，a，b为常数当x10万元时，y19.2万元；当x30万元时，y50.5万元(参考数据：ln20.7，ln31.1，ln51.6)(1)求f(x)的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值(利润旅游增加值投入
6、)解析(1)由条件可得解得a，b1，则f(x)xln(x10)(2)T(x)f(x)xxln(x10)，则T(x)，令T(x)0，则x1(舍)或x50，当x(10,50)时，T(x)0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；当x(50，)时，T(x)0，yx24(2x)(2x)，令y0，解得x2，所以x(0,2)时，y0，x(2，)时，y0，y先增后减x2时函数取最大值，选C.二、填空题14某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200x)件，要使利润最大每件定价为_元答案85解析设每件商品定价x元，依题意可得利润为Lx(200x)30xx2170x(0x200)L2
7、x170，令2x1700，解得x85.因为在(0,200)内L只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大三、解答题15某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p(xN)(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式；(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？解析(1)由意可知次品率p日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1p)因为次品率p，当每天生产x件时，有x件次品，有x件正品所以T200x100x25(xN)(2)T25，由T0得x
8、16或x32(舍去)当0x16时，T0；当x16时，T0；所以当x16时，T最大即该厂的日产量定为16件，能获得最大日盈利16(20142015三峡名校联盟联考)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式y4(x6)2，其中2x6，m为常数已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套(1)求m的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数)解析(1)因为x4时，y2
9、1，代入关系式y4(x6)2，得1621，解得m10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y4(x6)2，所以每日销售套题所获得的利润f(x)(x2)4(x6)2104(x6)2(x2)4x356x2240x278(2x6)，从而f (x)12x2112x2404(3x10)(x6)(2x0，函数f(x)单调递增；在(，6)上，f (x)0，函数f(x)单调递减，所以x是函数f(x)在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x3.3时，函数f(x)取得最大值故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大17(20142015山东省德州市期中)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每
10、小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为yx3x8(0x120)(1)当x64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？(2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？解析(1)当x64千米/小时时，要行驶100千米需要小时，要耗油(643648)11.95(升)(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得，(x3x8)22.5，a，设h(x)x2，则当h(x)最小时，a取最大值，h(x)x，令h(x)0x80，当x(0,80)时，h(x)0，故当x(0,80)时，函数h(x)为减函数，当x(80,120)时，函数h(x)为增函数，当x80时，h(x)取得最
11、小值，此时a取最大值为a200.答：若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米18某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池(平面图如图所示)如果池四周围墙建造单价为400元/m2，中间两道隔墙建造单价为248元/m2，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽视不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该地的长和宽都不能超过16m，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价解析设污水处理池的长为xm，则宽为m，再设总造价为y元，则有(1)y2x4002400248280200800x1600021
12、60002144001600044800，当且仅当800x，即x18(m)时，y取得最小值当污水处理池的长为18m，宽为m时总造价最低，为44800元(2)0x16,016，12.5x16，x18，不能用基本不等式但我们可用函数单调性定义或导数证明上述目标函数在区间12.5,16上是减函数，从而利用单调性求得最小值由(1)知，y(x)800(x)16000(12.5x16)方法1：利用定义证明单调性对任意x1，x212.5,16，设x10.(x1)(x2)，故y(x)在12.5,16上为减函数从而有(x)(16)45000.方法2：利用导数判断单调性y(x)800(1)，当12.5x16时，y8000，(x)在12.5,16上为减函数从而(x)(16)45000.当长为16m、宽为12.5m时，总造价最低，最低造价为45000元.