1、考点7不等式不等式的概念与性质均值不等式的应用不等式的证明不等式的解法不等式的综合应用不等式的概念与性质不等式的解法不等式的证明不等式的工具性不等式的实际应用经典易错题会诊命题角度1不等式的概念与性质 1(典型例题)如果a、b、c满足cba，且acac Bc(b-a)0 Ccb2ab2 Ddc(a-c)c，而ab，ao不一定成立，原因是不知a的符号 专家把脉 由dbc，且acc，故a0，cbc且ac0，故a0且cc，又a0，abac(2)b-a0，c0，Da-c0，acOac(a-c)ab;|a|b|；ab中，正确的不等式有 ( ) A1个 B2个 C3个 D4个 考场错解 A 只有正确，、显
2、然不正确，中应是2，故也错 专家把脉 中忽视 与 不可能相等，a b，故 对症下药 B 方法1：运用特值法，如a=-，b=-3 方法2：运用性质由，则ba0，故而判断 3(典型例题)对于0a1，给出下列四个不等式 loga(1+o)loga(1+) a1+aa 其中成立的是 ( ) A.与 B与 C.与 D与 考场错解 B 1+a1+，故1oga(1+a) loga(1+) 专家把脉 对数函数比较大小要考虑底数a的范围，它与指数函数一样 对症下药 D 0a1a1 1+a 1oga(1+)，a1+aa 4(典型例题)已知实数a、b满足等式，下列五个关系式0ba ab0 0ab ba0 a=b 其
3、中不可能成立的关系式有 ( ) A1个 B2个 C3个 D4个 考场错解 C a=b显然不成立，而a与b的大小不定，故只有可能两个成立，故有3个不可能成立，即alg=big，-a1g2=-blg3 又1g2-b，a0时，ab” 不能弱化条件变成“”也不能强化条件变为“ab0 ”考场思维训练 1 若，|a|，|b|0，且ab0，则下列不等式中能成立的是 ( ) A BC D 答案： C 解析：利用特值法可看出某些选择不能成立，而事实上，|a|，|b|0， 又01，10g|a|log|b|，由此也可直接得结论，应选C2已知a、b为不等正数，stN 解析：由0，得，由st00-t，0，b0，则以下不
4、等式中不恒成立的是 ( )A BC D考场错解 Di不一定大于或等于专家把脉 D中直接放缩显然不易比较 对症下药 B A：a+b2ab,成立C：a2+b2+2=a2+1+b2+12a+2b (当且仅当a=b=1时取“=”) 成立 D：两边平方|a-b|a+b-2 a-ba+b-2或a-b-a-b+2当时显然成立解得ab或ab 成立 2(典型例题)设x(0，)，则函数f(x)=sinx+的最小值是 ( ) A4 B5 C3 D6 考场错解 因为x(0，)，所以sinx0，0， f(x)=sinx+=4，因此f(x)的最小值是4故选A专家把脉 忽略了均值不等式a+b2(a.0， b0)中等号成立的
5、条件：当且仅当a=b时等号成立事实上，sinx=不可能成立，因为它成立的条件是sinx=2，这不可能 对症下药 (1)f(x)=sinx+=sinx+，因为sinx+2，当且仅当sinx=1即x= 时等号成立又3，当且仅当sinx=1即x=时等号成立所以f(x)=sinx+2+3=5，f(x)的最小值是5故应选B (2)令sinx=t，因为x(0，)，所以0t1，所给函数变为y=t+易知此函数在区间(0，1)上是减函数，所以，当t=1时，y取最小值5故应选B 3(典型例题)设a0，b0，a2+=1，求a 的最大值 考场错解 0ii(a=0时取等号) 专家把脉并非定值 对症下药 为利用均值不等式
6、时出现定值，先进行适当的“凑、配”时取 “=”.专家会诊(1) 利用均值不等式求最值时必须满足“一正”、二定、三等”.尤其是等号成立的条件,必须验证确定,而要获得定值条件有时要配凑.要有一定的灵活性和变形技巧.(2) 利用均值不等式解决实际问题、证明不等式时,要会利用函数的思想和放缩法.考场思维训练1 已知答案： B 解析：联立解得： 若ab+bc+ca取最小值，可令b=则ab+c+ca=_.答案：解析：abc，0m1 10gmlogmx+logmy，,ab， 又=1又0m1，bc.故abc.3.答案：解析： x2(1-3x)=xx(-2x)，当且仅当x=-2x，即x=时，取得最大值 命题角度
7、3 不等式的证明1.(典型例题)设函数()证明:当0a1;()点P(xo,yo)(0xo1)在曲线y=f(x)上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用xo表示).(2)f曲线y=f(x)在点即专家把脉 在运用不等式时应考虑等号成立时是否符合条件.对症下药 ()证法一:因f(x)=证法二:()解法一:0x0与a1.求证：b22(b+2c)；答案：由题意得，当x(-，x1)(x2，+)时，f(x)0；x(x1，x2)时f，(x)1，(x2-x1)2-10， b22(b+2c)(3)在(2)的条件下，若t1+x11+t，t+1-x20，又tx1， t-x10，即t2+b
8、t+cx1 .2已知数列(1) 问是否存在mN,使xm=2,并证明你的结论；答案：假设存在mN*，使xm=2，则2=xm-1=2， 同理可得xm-2=2， 以此类推有x1=2，这与x1=1矛盾，故不存在mN*，使xm=2(2) 试比较xn与2的大小关系；(3) 设答案：当n2时，xn+1，-2=-2=-，则xn0，xn+1-2与xn-2符号相反，而x1=12，以此类推有：x2n-12；(3)命题角度4 不等式的解法1(典型例题)在R上定义运算:xy=x(1-y),若不等式(x-a) (x+a)1,解关于x的不等式：考场错解专家把脉(2)问中两边约去(2-x),并不知2-x的符号.对症下药(1)
9、同错解中(1) 当1k0解集为x(1,2) (2,+ ); 当k2时，解集为x(1,2) (k,+ ).3.(典型例题)设函数f(x)=kx+2,不等式|f(x)|0时，k2,当k0,k-4.k=2或-4.当k=2时f(x)=2x+2,当k=-4时f(x)=-4x+2再由解对数不等式。专家把脉在求k的值时分析讨论不严密，上式中是在x(-1,2)时恒成立，而k的值并不能使之成立.对症下药 |kx+2|6, (kx+2)236,即k2x2+4kx-320.由题设可得解得k=-4, f(x)=-4x+2. 解得由解得x1,由得4(典型例题)设对于不大于考场错解A=x|a-bxa+b,故专家把脉 在求
10、b的范围时，应考虑必成立的条件，如才能上式恒成立.对症下药 A=x|a-bx0的解集是(1,+ ),则关于x的不等式的解集是( )A.(-,-1)(2,+ )B.(-1,2)C.(1,2)D(-,1) (2,+ )答案： A解析：a0-且=1，0(x+1)(x-2)0x22.若答案：(-1，cos)(-cos，1) 解析：a， 0sin201-x2sin2cos2x21，又cos0 -1xcos或-cosx0时，原不等式为x1,x1当x0且x0，x-1 综上，可得x|x1命题角度5 不等式的综合应用1(典型例题)已知函数f(x)=ax-( )求a的值；()设0a考场错解(1)由于f(x)的最大
11、值不大于又由，可得a=1.(),当n=1时，0a1,结论成立。假设专家把脉在证明不等式时，运用放缩法应有理论依据，不能套结论，而且放缩不能过大或过小.对症下药()解法：由于由得a=1.()证法一：当可知，对任何nN成立。证法三：由知当n=k+1时，不等式2.(典型例题)六一节日期间，某商场儿童柜台打出广告：儿童商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：（如表所示）消费金额（元）200，400400,500500,700700,900获奖券的金额（元）3060100130依据上述方法，顾客可以获得双重优惠.试问：(1) 若购买一件标价为1000
12、元的商品，顾客得到的优惠率是多少？(2) 对于标价在500，800内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率？考场错解(1)(3) 设商品的标价为x元，则500x800,由已知得专家把脉商品的标价为x元，而消费额在5000.8,8000.8之间，而不是500800之间.对症下药(1)同上(3) 设商品的标价为x元，则500x800,消费额：4000.8x640.由已知得：或解不等式无解，得：625x750.专家会诊1应用不等式的性质与几个重要不等式求出数的最值，比较大小，讨论参数的范围等，一定要注意成立的条件，易忽视“一正、二定、三等。”2运用不等式解决实际问题时，首先将实际问
13、题转化为函数的最值问题，从而运用不等式求最值，注意成立时的实际条件与不等式成立条件应同时考虑。考场思维训练答案： D 解析：1，由倒数法则0balogtba=1，0logba|logab+logba|故选D2 已知不等式x2-2x+a0时，任意实数x恒成立，则不等式a2x+1ax2+2x-30 对xR恒成立1不等式(a2x+1ax2+2x-30)(2) 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？答案： P=-()+495-24+495=415，当且仅当x=时，即x=8时，P有最大值415 万元探究开放题预测预测角度1 不等式的概念与性质1下列命题正确的是 ( )解题思路利用均值不等式成立的条件
14、判断。解答D对于A，当a、b同为负数时也成立；对于B，当a、b、c中有一个为0，其余为正数时也成立；对于C，当a、b、c(0，1)时也成立；D正确。2已知a=sin15.+cos15.,b=sin16.,则下列各式中正确的是 ( )解题思路利用两角和与差的公式化简b、a、然后再比较大小.解答B预测角度2不等式的解法1关于x的不等式x|x-a|2a2(a(-,0)的解集为 ( )A.-a,+ B.a,+ C.2a,a -a+ D.(- ,a)解题思路讨论a、x的大小，去绝对值符号.解答A当xa,x2-ax-2a20, x-a.当xa,不等式显然无解.2.函数y=f(x)是圆心在原点的单位圆的两段
15、圆弧(如图，与y轴无交点)，则不等式f(x).即可求解。解答A由已知有f(x)为奇函数，则原不等式变形为f(x)画图可知A正确，所以选A3函数则使g(x) f(x)的x的取值范围是解题思路利用数形结合法.解答D用数形结合法，分别作出f(x)=sinx和g(x)=-94.解关于x的不等式解题思路本题的关键不是对参数a进行讨论，而是取绝对值时必须对未知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。解答当xa 时，不等式可转化为预测角度3 不等式的证明1已知定义域为0，1的函数f(x)同时满足：(1)对于任意x0,1总有f(x) 0;(2)f(1)=1;(3)若x
16、10,x20,x1+xz1,则有f(x1+x2) f(x1)+f(x2).()试求f(0)的值；()试求函数f(x)的最大值；()试证明：当x解题思路(1)赋值法； (2)变形f(x2)=f(x2-x1)+x1,即可求函数f(x)的最大值；解答()令得f(0) 0, f(0)=0.()任取()3 设y=f(x)的定义域为R，当x1且对任意的实数x,yR,有f(x+y)=f(x) f(y)成立，数列an满足a1=f(0),且f(an+1)=4(1) 判断y=f(x)是否为单调函数，并说明理由；(2)(3)若不等式解题思路(1)利用函数的单调性证明;(2)裂项法求出Tn再解不等式；(3)利用函数的
17、单调性求k的最大值.解答(1)设(3)由预测角度4 不等式的工具性1若直线2ax-by+2=0(a、b0)始终平分圆x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则的最小值是 ( )A.4 B.2 C. D.解题思路利用重要不等式求最小值。解答A直线2ax-by+2=0过圆心(-1,2), a+b=1,2.已知函数f(x)=ax2+8x+3(abc),已知f(1)=0,且存实数m,使f(m)=-a.(1) 试推断f(x)在区间0，+上是否为单调函数，并说明你的理由；(2) 设g(x)=f(x)+bx,对于x1，x2R,且x1x2,若g(x1)=g(x2)=0,求|x1-x2|的取值范围；(3) 求证：
18、f(m+3)0.解题思路由二次函数的对称轴两边为单调的性质判断；(2)由根与系数的关系求出a、b、c的关系，从而转化为二次函数的最值；解答(1) f(m)=-a,mR. 方程ax2+bx+c+a=0有实根=b2-4a(a+c) 0f(1)=0, a+b+c=0,即a+c=-b.b2-4a(-b)=b(b+4a) 0.abc, a0,c0.b0.x=f(x)在0，+上是增函数.(2)据题意x1,x2是方程g(x)=0即ax2+2bx+c=0的两实根.=(3)f(1)=0.设f(x)=a(x-1)(x-)4.在xOy平面上有一系列点P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn),对每个
19、正整数n,点PN 位于函数y=x2(x0)的图像上,以点Pn为圆心的圆Pn与x轴都相切,且圆Pn与圆PN+1又彼此相外切. 若x1=1,且xn+10的解集为 ( )A.x|-3x-1B.x|-3x2C.x|-3x3D.x|-1x1或1x0得，由题4函数f(x)是R上的增函数,A(0,1),B(3,1)是其图像上的两点,那么|f(x+1)|1的解集是( )A.(1,4) B(-1,2)C.(- ,1) 4,+ D.(- ,-1) 2,+ 答案： B 易知过A、B两点的直线即y=x-1，即f(x)=x-1是增函数，由f(x+1)=(x+1)-1，得当 5已知f(x)=A.x|1x3或x2C.x|1
20、x2或3x4D.x|x0答案： C 解析：略6.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集为 ( )A(-3,0) (3,+ )B.(-3,0) (0,3)C.(- ,-3) (3,+ )D.(- ,-3) (0,3)答案： D 解析：设F(x)=f(x)g(x)， F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x) F(x)为奇函数 又x0 x0时，9(x)也为增函数 F(-3)=f(-3)g(-3)=0 F(3)=-F(-3)=0 如图为一个符合题意的图象观 察知9(x)=f(x)，g(x)logb|x-4
21、|的解集是_.答案：x|x0，所以2-bx在0，1上递减，由已知可知0b1，所以原不等式等价于0|x+2|，x-4|，解得x|x0时，f(x)=x+答案：依题意x-3，-1时f(x)=f(-x)=-x+=(),m=f(-1)=5，n=f(-2)=4，m-n=1， 9定义符号函数sgnx=答案：-2解析：略；10已知关于x的不等式(1)a=4时，求集合M；答案：当a=4时，原不等式可化为， 即4(x-)(x-2)(x+2)0，x(-，-2)(，2)，故M为(-，-2)(，2)(2)若3M且5M,求实数a的取值范围。答案：由3M得9或a， 由5M得0，1a25， 由、得1a，或9a25因此a的取值
22、范围是1，(9，25)11已知函数f(x)对任意实数P、q都满足f(p+q)=f(p).f(q),且f(1)=(1)当nN+时，求f(n)的表达式；答案：解：由已知得答案：证明 由(1)可知则 两式相减得 (3)解 由(1)可知 则 故有12某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大.最大种植面积是多少？答案：解：没矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800(m) 蔬菜的种植面积S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b
23、) 所以S808-4=48(m2) 当a=2b，即a=40(m)，b=20(m)时， S最大值=648(m2) 答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m213已知函数f(x)(xR)满足下列条件：对任意的实数.x1,x2都有() 证明答案：任取x1，x2 及，x1x2，则由(x1-x2)2(x1-x2)f(x1)-f(x2) 和，|f(x1)-f(x2)，|x1-x2| 可知(x1-x2)2(x1-x2)f(x1)-f(x2)|x1-x2|f(x1)-f(x2)1|x1-x2|2， 从而A1假设有b0a0，使得f(b0)=0，则由式知 0
24、(a0-b0)2(a0-b0)f(a0)-f(b0)=0矛盾 不存在b0a0，使得f(b0)=0() 证明2；答案：由b=oa-f(a) 可知(6-a0)2=a-a0-f(a)2=(a-a0)2-2(a-a0)f(a)+2f(a)2 由f(a0)=0和式，得(a-a0)f(a)=(a-a0) f(a)-f(a0)(a-a0)2 由f(a0)=0和式知，f(a)2=f(a)-f(a0)2(a-a0)2 由、代人式，得(b-a0)2(a-a0)2-22(a-a0)2+2(a-a0)2 =(1-2)(a-a0)2() 证明答案：由式可知f(b)2=f(b)-f(a)+f(a)2 =f(b)-f(a)
25、2+2f(a)f(b)-f(a)+f(a)2 (b-a)2-2f(b)-f(a)+f(a)2 (用式) =2f(a)2-(b-a)f(b)-f(a)+f(a)2 2f(a)2-(b-a)2+f(a)2 (用) =2f(a)2-22f(a)2+f(a)2 =(1-2)f(a)214已知函数f(x)=(1)设0|x|1,0|t|1,求证：|t+x|+|t-x|f(tx+1)|答案：f(x)=f(tx+1)=tx+ |f(tx+1)|=|t|+2=2，当且仅当，|tx|=1时，上式取等号0|x|1，0|tx|2s=(|t+x|+|t-x1)2=2(t2+x2)+2|t2-x2|-(|t+x|+|t-x|)2=2(t2+x2)+2|t2-x2|.当|t|x|时，s=4t24；当|t|x|时s=4x24 |t+x|+|t-x|21f(tx+1)|即，|t+x|+|t-x|f(tx+1)|(3) 设x是正实数，求证:f(x+1)n-f(xn+1) 2n-2.答案： n=1时，结论显然成立当n2时，f(x+1)n-f(xn+1)=(x+)n-(xn+)=
