1、陕西省安康市2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知A=1，2，5，B=2，3，5，则AB等于( )A2，3B2，5C2D1，2，3，52已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，=（2，4），=（1，3），则等于( )A（2，4）B（3，5）C（3，5）D（2，4）4已知sin（）=则cos（x）等于( )ABCD5已知双曲线x2=1（b0）的一条渐近线的方程为y=2x，则b的值等于 ( )AB1
2、C2D46定义在R上的奇函数f（x）在1，0上单调递减，则下列关系式正确的是( )A0f（1）f（1）Bf（1）f（1）0Cf（1）0f（1）Df（1）0f（1）7对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：x24568y2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值等于( )A1B1.5C2D2.58某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A90B92C98D1049已知M（2，m）是抛物线y2=2px（p0）上一点，则“p1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不
3、必要条10如图，四边形ABCD为矩形，AB=，BC=1，以A为圆心，1为半径画圆，交线段AB于E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率为( )ABCD11某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填( )Ak4？Bk5？Ck6？Dk7？12已知x0是函数的一个零点，若x1（1，x0），x2（x0，+），则( )Af（x1）0，f（x2）0Bf（x1）0，f（x2）0Cf（x1）0，f（x2）0Df（x1）0，f（x2）0二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13lg5lg2+lg22lg2=_14从1=1，14=（1+2），14+9=1+2+3，14+91
4、6=（1+2+3+4），推广到第n个等式为_15设变量x，y满足约束条件，则z=x3y的最小值_16某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于米，记防洪堤横断面的腰长为x（米），则其腰长x的取值范围是_三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知数列an是公差为整数的等差数列，且a1a2=4，a3=7（1）求数列an的通项公式；（2）求数列2的前n项和Sn18已知函数f（x）=sinx+cosx，x0，（1）当函数取得最大值时，求自变量x的值；（2）若方程f（x
5、）a=0有两个实数根，求a的取值范围19如图1，在直角梯形ABCD中，ADC=90，CDAB，AB=4，AD=CD=2将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示（）求证：BC平面ACD；（）求几何体DABC的体积20某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：50，100），100，150），150，200），200，250），250，300），绘制成如图所示的频率分布直方图（1）求续驶里程在200，300的车辆数；（2）若从续驶里程
6、在200，300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在200，250）的概率21已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为：，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O相切（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C与曲线|y|=kx（k0）的交点为A，B，求OAB面积的最大值22已知f（x）=xlnx，g（x）=x+a（1）当a=2时，求函数y=g（x）在0，3上的值域；（2）求函数f（x）在t，t+2（t0）上的最小值；（3）证明：对一切x（0，+），都有xlnx成立陕西省安康市2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题
7、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知A=1，2，5，B=2，3，5，则AB等于( )A2，3B2，5C2D1，2，3，5考点：并集及其运算 专题：集合分析：直接利用并集运算得答案解答：解：A=1，2，5，B=2，3，5，则AB=1，2，52，3，5=1，2，3，5故选：D点评：本题考查了并集及其运算，是基础的会考题型2已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出解答：解：1+i=，z=在复平面内，复数z所对应的点在第一象限故选：A点评：本题
8、考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题3在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，=（2，4），=（1，3），则等于( )A（2，4）B（3，5）C（3，5）D（2，4）考点：平面向量的坐标运算 专题：平面向量及应用分析：利用平行四边形对边平行相等，结合向量的运算法则，求解即可解答：解：，=（3，5）故选：C点评：本题考查向量的基本运算，向量的坐标求法，考查计算能力4已知sin（）=则cos（x）等于( )ABCD考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数 专题：计算题；三角函数的求值分析：由诱导公式化简后即可求值解答：解：cos（x）=sin（x）=sin（x）=故选：D点评：本题
9、主要考察了诱导公式的应用，属于基础题5已知双曲线x2=1（b0）的一条渐近线的方程为y=2x，则b的值等于( )AB1C2D4考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线x2=1（b0）的一条渐近线的方程为y=2x，可得=2，即可求出b的值解答：解：双曲线x2=1（b0）的一条渐近线的方程为y=2x，=2，b=2，故选：C点评：本题考查双曲线的渐近线的方程，考查学生的计算能力，比较基础6定义在R上的奇函数f（x）在1，0上单调递减，则下列关系式正确的是( )A0f（1）f（1）Bf（1）f（1）0Cf（1）0f（1）Df（1）0f（1）考点：奇偶性与单调性的
10、综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 专题：函数的性质及应用分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，进行判断即可解答：解：定义在R上的奇函数f（x）在1，0上单调递减，函数f（x）在1，1上单调递减，则f（1）0f（1），故选：D点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，比较基础7对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：x24568y2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+a，则a的值等于( )A1B1.5C2D2.5考点：线性回归方程 专题：计算题；概率与统计分析：求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归
11、方程，得到关于a的方程，解方程求出a解答：解：=5，=54这组数据的样本中心点是（5，54）把样本中心点代入回归直线方程=10.5x+a，54=10.55+a，a=1.5，故选：B点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A90B92C98D104考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由三视图知几何体为一四棱柱，且四棱柱的高为4，底面为直角梯形，直角梯形的直角腰为4，两底边长分别为2，5，求得另一腰长，把数据代入表面积公式计算解答：解：由三视图知几何体为一
12、四棱柱，且四棱柱的高为4，底面为直角梯形，直角梯形的直角腰为4，两底边长分别为2，5，另一腰长为=5；几何体的表面积S=S底面+S侧面=24+（2+4+5+5）4=92故选：B点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键9已知M（2，m）是抛物线y2=2px（p0）上一点，则“p1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据抛物线的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论解答：解：抛物线的交点坐标为F
13、（，0），准线方程为x=，则点M到抛物线焦点的距离PF=2（）=2+，若p1，则PF=2+，此时点M到抛物线焦点的距离不少于3不成立，即充分性不成立，若点M到抛物线焦点的距离不少于3，即PF=2+3，即p2，则p1，成立，即必要性成立，故“p1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用抛物线的定义和性质是解决本题的关键10如图，四边形ABCD为矩形，AB=，BC=1，以A为圆心，1为半径画圆，交线段AB于E，在圆弧DE上任取一点P，则直线AP与线段BC有公共点的概率为( )ABCD考点：几何概型 专题：概率与统计分析：由题意
14、知本题是一个几何概型，由题意，试验包含的所有事件是BAD，而满足条件的事件是直线AP在CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型公式得到结果解答：解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是BAD，如图，连接AC交弧DE于P，则tanCAB=，CAB=30，满足条件的事件是直线AP在CAB内时AP与BC相交时，即直线AP与线段BC有公共点概率P=，故选：C点评：本题考查了几何摡型知识，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到11某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填( )Ak4？Bk5？Ck6？Dk7？考点：程序框图 专题：算法和程
15、序框图分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=5时，根据题意此时满足条件，退出循环，输出S的值为57，从而即可判断解答：解：执行程序框图，可得k=2，S=4；k=3，S=11；k=4，S=26；k=5，S=57；根据题意此时，满足条件，退出循环，输出S的值为57故判断框内应填k4故选：A点评：本题主要考察了程序框图和算法，正确得到退出循环时k，S的值是解题的关键，属于基础题12已知x0是函数的一个零点，若x1（1，x0），x2（x0，+），则( )Af（x1）0，f（x2）0Bf（x1）0，f（x2）0Cf（x1）0，f（x2）0Df（x1）0，f（x2）0考点：函数的零点
16、 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得方程的解即为函数f（x）的零点，在同一坐标系中作出函数y=1nx与的图象，由图象易知，即f（x1）0，同理可得，f（x2）0，由此得出结论解答：解：令 =0，从而有，此方程的解即为函数f（x）的零点在同一坐标系中作出函数y=1nx与的图象，如图所示由图象易知，从而 ，故，即f（x1）0，同理可得，f（x2）0故选D点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，属于基础题二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13lg5lg2+lg22lg2=0考点：对数的运算性质 专题：函数的性质及应用分析：直接利用对数的运算
17、法则化简求解即可解答：解：lg5lg2+lg22lg2=lg2（lg5+lg2）lg2=lg2lg2=0故答案为：0点评：本题考查对数的运算法则的应用，基本知识的考查14从1=1，14=（1+2），14+9=1+2+3，14+916=（1+2+3+4），推广到第n个等式为14+916+（1）n+1n2=（1）n+1（1+2+3+n）考点：归纳推理 分析：本题考查的知识点是归纳推理，解题的步骤为，由1=1，14=（1+2），14+9=1+2+3，14+916=（1+2+3+4），中找出各式运算量之间的关系，归纳其中的规律，并大胆猜想，给出答案解答：解：1=1=（1）1+1114=（1+2）=（1
18、）2+1（1+2）14+9=1+2+3=（1）3+1（1+2+3）14+916=（1+2+3+4）=（1）4+1（1+2+3+4）所以猜想：14+916+（1）n+1n2=（1）n+1（1+2+3+n）故答案为：14+916+（1）n+1n2=（1）n+1（1+2+3+n）点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）15设变量x，y满足约束条件，则z=x3y的最小值8考点：简单线性规划 专题：计算题分析：作出变量x，y满足约束条件所对应的平面区域，采用直线平移的方法，将直线l：平移使它经过区域上顶点A（2，2）
19、时，目标函数达到最小值8解答：解：变量x，y满足约束条件所对应的平面区域为ABC如图，化目标函数z=x3y为 将直线l：平移，因为直线l在y轴上的截距为，所以直线l越向上移，直线l在y轴上的截距越大，目标函数z的值就越小，故当直线经过区域上顶点A时，将x=2代入，直线x+2y=2，得y=2，得A（2，2）将A（2，2）代入目标函数，得达到最小值zmin=232=8故答案为：8点评：本题考查了用直线平移法解决简单的线性规划问题，看准直线在y轴上的截距的与目标函数z符号的异同是解决问题的关键16某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求
20、面积为9平方米，且高度不低于米，记防洪堤横断面的腰长为x（米），则其腰长x的取值范围是2，6）考点：根据实际问题选择函数类型 专题：函数的性质及应用分析：设出高h，利用条件列出h与x的关系，通过面积公式表示出BC，然后列出不等式组，求出腰长x的取值范围解答：解：设高为h，又=（AD+BC），其中AD=BC+2=BC+x，h=，得BC=，由得2x6故答案为：2，6）点评：本题考查实际问题的应用，面积公式以及不等式组的解法，考查分析问题解决问题的能力三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知数列an是公差为整数的等差数列，且a1a2=4，a3=7（1）
21、求数列an的通项公式；（2）求数列2的前n项和Sn考点：数列的求和；等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）设等差数列an的公差为d为整数，由a1a2=4，a3=7，可得a1（a1+d）=4，a1+2d=7解得a1，d，再利用等差数列的通项公式即可得出（2）2=23n3=8n1再利用等比数列的前n项和公式即可得出解答：解：（1）设等差数列an的公差为d为整数，a1a2=4，a3=7，a1（a1+d）=4，a1+2d=7解得，an=a1+（n1）d=1+3（n1）=3n2（2）2=23n3=8n1数列2的前n项和Sn=点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，
22、考查了推理能力与计算能力，属于中档题18已知函数f（x）=sinx+cosx，x0，（1）当函数取得最大值时，求自变量x的值；（2）若方程f（x）a=0有两个实数根，求a的取值范围考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象 专题：三角函数的求值分析：（1）化简可得f（x）=2sin（x+），易得当x=时，函数取最大值；（2）问题等价于f（x）与y=a有两个不同的交点，作图象易得a的取值范围解答：解：（1）化简可得f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），由已知可得x0，当x+=即x=时，函数取最大值；（2）方程f（x）a=0有两个实数根，等价于f（x）与y=a有
23、两个不同的交点，作图象可得a的取值范围为：，2）点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，等价转化并作图是解决问题的关键，属中档题19如图1，在直角梯形ABCD中，ADC=90，CDAB，AB=4，AD=CD=2将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示（）求证：BC平面ACD；（）求几何体DABC的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 专题：计算题分析：（）解法一：由题中数量关系和勾股定理，得出ACBC，再证BC垂直与平面ACD中的一条直线即可，ADC是等腰Rt，底边上的中线OD垂直底边，由面面垂直的性质得OD平面ABC，所以ODBC，从而证得
24、BC平面ACD；解法二：证得ACBC后，由面面垂直，得线面垂直，即证（），由高和底面积，求得三棱锥BACD的体积即是几何体DABC的体积解答：解：（）【解法一】：在图1中，由题意知，AC2+BC2=AB2，ACBC取AC中点O，连接DO，则DOAC，又平面ADC平面ABC，且平面ADC平面ABC=AC，DO平面ACD，从而OD平面ABC，ODBC又ACBC，ACOD=O，BC平面ACD【解法二】：在图1中，由题意，得，AC2+BC2=AB2，ACBC平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABC=AC，BC面ABC，BC平面ACD（）由（）知，BC为三棱锥BACD的高，且，SACD=22=2，所以
25、三棱锥BACD的体积为：，由等积性知几何体DABC的体积为：点评：本题通过平面图形折叠后得立体图形，考查空间中的垂直关系，重点是“线线垂直，线面垂直，面面垂直”的转化；等积法求体积，也是常用的数学方法20某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：50，100），100，150），150，200），200，250），250，300），绘制成如图所示的频率分布直方图（1）求续驶里程在200，300的车辆数；（2）若从续驶里程在200，300的车辆中随机抽取2辆车，求其
26、中恰有一辆车的续驶里程在200，250）的概率考点：频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：算法和程序框图分析：（1）利用小矩形的面积为1求出x的值；（2）据直方图求出续驶里程在200，300和续驶里程在250，300）的车辆数，利用排列组合和概率公式求出其中恰有一辆车的续驶里程在200，250）的概率解答：解：（1）有直方图可知0.00250+0.00550+0.00850+x50+0.00250=1解得x=0.003，续驶里程在200，300的车辆数为20（0.00350+0.00250）=5（2）由题意可知，续驶里程在200，300的车辆数为3，续驶里程在250，30
27、0）的车辆数为2，从5辆车中随机抽取2辆车，共有中抽法，其中恰有一辆车的续驶里程在200，250）的抽法有种，其中恰有一辆车的续驶里程在200，250）的概率为P（A）=点评：本题考查直方图、古典概型概率公式；直方图中频率=纵坐标组距，属于一道基础题21已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为：，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆O相切（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C与曲线|y|=kx（k0）的交点为A，B，求OAB面积的最大值考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）求得圆的方程，由直线和圆相切的条件，可得
28、b=，由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（2）设A（x0，y0），（x00，y00），则y0=kx0，设AB交x轴于D，用k表示SOAB，再由基本不等式即可得到最大值解答：解：（1）由题意可得x2+y2=b2，直线l：xy+2=0与圆O相切，有=b，即b=，e=，又c2=a2b2=a22，解得a=，则椭圆方程为+=1；（2）设A（x0，y0），（x00，y00），则y0=kx0，设AB交x轴于D，由对称性可得SOAB=2SOAD=2x0y0kx02，由y0=kx0代入+=1，可得x02=，则SOAB=当且仅当3k=，即k=时，OAB面积的最大值为点评：本题考查椭圆的方程
29、和性质，同时考查直线和圆相切的条件，运用基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题22已知f（x）=xlnx，g（x）=x+a（1）当a=2时，求函数y=g（x）在0，3上的值域；（2）求函数f（x）在t，t+2（t0）上的最小值；（3）证明：对一切x（0，+），都有xlnx成立考点：利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值 专题：计算题分析：（1）当a=2时，由g（x）=，x0，3，利用二次函数的性质求出它的值域（2）利用函数f（x）的导数的符号，分类讨论f（x）单调性，从而求出f（x）的最小值（3）令 h（x）=，通过 h（x）= 的符号研究h（x）的单调性，求出h
30、（x）的最大值为h（1）=再由f（x）=xlnx在（0，+）上的最小值为，且f（1）=0大于h（1），可得在（0，+）上恒有f（x）h（x），即 解答：解：（1）当a=2时，g（x）=，x0，3，当x=1时，；当x=3时，故g（x）值域为（2）f（x）=lnx+1，当，f（x）0，f（x）单调递减，当，f（x）0，f（x）单调递增 若 ，t无解； 若 ，即时，； 若 ，即时，f（x）在t，t+2上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt，所以 f（x）min= （3）证明：令 h（x）=，h（x）=，当 0x1时，h（x）0，h（x）是增函数当1x时 h（x）0，h（x）是减函数，故h（x） 在（0，+）上的最大值为h（1）=而由（2）可得，f（x）=xlnx在（0，+）上的最小值为，且当h（x） 在（0，+）上的最大值为h（1）时，f（x）的值为ln1=0，故在（0，+）上恒有f（x）h（x），即 点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于中档题