1、数列求和的四种常见类型类型1公式法求和：用等差（等比）数列求和公式.例1.(2018年全国2卷)记为等差数列的前n项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值.解析：（1）设的公差为，由题意得，由，得，所以的通项公式为.（2）代入等差数列求和公式，得，所以当时，取到最小值，且最小值为. 例2.（2020新高考2卷）已知公比大于的等比数列满足（1）求的通项公式；（2）求.解析：（1）设等比数列的公比为q(q1)，则，整理可得：，数列的通项公式为：.（2）由于：，故：.类型2裂项求和1.分母是等差数列相邻两项乘积，则：，则：.2.有理化后求和：.3.指数式裂相求和：.三类应用：裂相求和
2、；证明不等式；求范围.例3.(2015年全国2卷)为数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解析：（1）与已知作差得：，当时，.（2），.类型3：错位相减型如的数列求和，其基本解题步骤如下：Step1：由题可得： Step2：故， Step3：由得：Step4：化简： .例4.(2020年新课标全国卷I17)设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项.（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和.解析：（1）设公比为，得 即， 得（舍去），.（2）设为的前n项和，由（1）及题设可得，所以，用-可得：故.类型4. 分组求和适用对象：主要适用于通项是由两部分不同的形式构成的数
3、列，其次还适用于一些几项放在一起可以化简的数列.例如：型，可分别单独求出的前项和再求和.或者分段型，具体见下面的2021新高考1卷.例5.（2021新高考1卷）.已知数列满足，（1）记，写出，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.解析：（1）由题设可得又，故即即所以为等差数列，故.（2） 设的前项和为，则，进一步分组可得：因为，所以.除上例之外，分组求和还适用于出现摆动数列型中，具体解法见下例.例7.（2014年湖南文科）已知数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解析：（1）当时，；当时，故数列的通向公式为：.（2）由（1）知，记数列的前项和为，则,进一步，若记，
4、分别求和可得：，故数列的前项和为.注：此处是一个分段形式：，分组求和是处理分段形式的数列求和的一把利器！（2018年天津）设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，.（I）求和的通项公式；（II）设数列的前n项和为，（i）求；（ii）证明.详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而 故 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（II）（i）由（I），有，故.（ii）因为，所以.真题演练（2021浙江卷） 已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求的范围.【详解】（1）当时，当时，由，得，得，又是首项为，公比为的等比数列，；（2）由，得，所以，两式相减得，所以，由得恒成立，即恒成立，时不等式恒成立；时，得；时，得；所以.（2020全国1卷）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，；（2）设前项和为，得，.
