1、第2课时等式性质与不等式性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握不等式的性质(重点)2能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明(难点)3通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异.1.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力2借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养.在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象问题：你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？提示：糖水变甜这一现象对应的不等式为，其中ab，c0.1等式的性质(1) 性质1：如果ab，那么ba；(2) 性质2：如果ab，bc，那么ac；(3) 性质3：如果ab，那么acbc；(4
2、) 性质4：如果ab，那么acbc；(5) 性质5：如果ab，c0，那么.2不等式的基本性质(1)性质1：abba.(2)性质2：ab，bcac.(3)性质3：abacbc.(4)性质4：ab，c0acbc；ab，c0acbc.(5)性质5：ab，cdacbd.(6)性质6：ab0，cd0acbd.(7)性质7：ab0anbn(nN，n2)1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若ab，则acbc一定成立()(2)若acbd，则ab，cd.()提示(1)错误由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若ab，则acbc不一定成立(2)错误取a4，c5，b6，d2
3、.满足acbd，但不满足ab.答案(1)(2)2若ab，cd，则下列不等关系中不一定成立的是()AabdcBadbcCacbc DacadB根据不等式的性质3与ab等价的不等式是()A|a|b| Ba2b2C.1 Da3b3D可利用赋值法令a5，b0，则A、B正确而不满足ab.再令a3，b1，则C正确而不满足ab，故选D.4用不等号“”或“”填空(1)如果ab0，cd0，那么ac_bd；(2)如果ab0，那么_；(3)如果abc0，那么_.(1)(2)(3)(1)cd0，cd0.又ab0，acbd，即acbd.(2)ab0，a2b20，.(3)ab0，0.又c0，.利用不等式性质判断命题真假【
4、例1】对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是()A若ab，则ac2bc2B若ab0，则C若ab0，则D若ab，则a0，b0思路点拨本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断D法一：c20，c0时，有ac2bc2，故A为假命题；由ab0，有ab0，故B为假命题；，故C为假命题；ab0.ab，a0且b0，故D为真命题法二：特殊值排除法取c0，则ac2bc2，故A错取a2，b1，则，1.有，故B错取a2，b1，则，2，有，故C错故D为真命题运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行
5、排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.1下列命题正确的是()A若a2b2，则abB若，则abC若acbc，则abD若，则abDA错，例如(3)222；B错，例如；C错，例如当c2，a3，b2时，有acbc，但ab.故D正确利用不等式性质证明简单不等式【例2】若ab0，cd0，e0，求证：.思路点拨可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果证明cd0，cd0.又ab0，acbd0.(ac)2(bd)20.两边同乘以，得.又e0，.利用不等式的性质证明不等式的注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题
6、一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.2已知ab，ef，c0，求证：facb，c0，acbc.又ef，eacfbc，ebcfac，facebc.不等式性质的应用探究问题1小明同学做题时进行如下变形：2b3，.又6a8，24.你认为正确吗？为什么？提示：不正确因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道6a8，不明确a值的正负故不能将与6a8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能
7、分别相乘2由6a8，4b2，两边分别相减得2ab6，你认为正确吗？提示：不正确因为同向不等式具有可加性，但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质3你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？2ab4，4ba2.又2ab2，0a3，3b0，3ab3.这怎么与2ab2矛盾了呢？提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形本题中将2ab4与2ab2两边相加得0a3，又将4ba2与2ab2两边相加得出3b0，又将该式与0a3两边相加得出3ab3，多次使用了这种转化，导致了ab范围的扩大【例3】已知1a4,
8、2b8，试求ab与的取值范围思路点拨依据不等式的性质，找到b与的范围，进而求出ab与的取值范围解因为1a4,2b8，所以8b2.所以18ab42，即7ab2.又因为，所以2，即2.求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除.3已知，求，的取值范围解，两式相加，得.，.又知，0.故0.即，0.1记牢2组性质(1)等式的5个性质；(2)不等式的7个性质2掌握不等式性质的应用条件(1)性质1和性质2，分别称为“对称性”与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识(2)性质3(即可加性)的依据是移项
9、法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”(3)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号” .(4)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”(5)性质6和性质7(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式3规避1个易错注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性1设xa0，则下列不等式一定成立的是()Ax2axaxa2Cx2a2a2axBxaa2.x2axx(xa)0，x2ax.又axa2a(xa)0，axa2.x2axa2.2如果ab0，cd0，则下列不等式中不正确的是()Aadbc BCadbc DacbdC由已知及不等式的性质可得acbd，即adbc，所以A正确；由cd0，得0.又ab0，所以，即B正确；显然D正确，因此不正确的选项是C.3若11，则下列各式中恒成立的是()A20 B21C10 D11A由11，11，得11.22，但，故知20.4下列命题中，真命题是_(填序号)若ab0，则；若ab，则c2ac2b；若a0，b0，则；若ab，则2a2b.ab00；ab2a2bc2ac2b；对取a2，b1，则不成立正确5若bcad0，bd0.求证：.证明因为bcad0，所以adbc，因为bd0，所以，所以11，所以.