1、2.4.1基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1若|m|4，|n|6，m与n的夹角为45，则mn()A12 B12C12 D12解析：mn|m|n|cos 46cos 452412.答案：B2已知ab12，|a|4，a和b的夹角为135，则|b|()A12 B3C6 D3解析：ab|a|b|cos 13512，又|a|4，解得|b|6.答案：C3已知向量a，b满足|a|2，|b|3，a(ba)1，则a与b的夹角为()A. B.C. D.解析：因为|a|2，a(ba)1，所以a(ba)aba2ab221，所以ab3.又因为|b|3，设a与b的夹角为，则cos .又0，所
2、以.答案：C4若向量a与b的夹角为60，|b|4，(a2b)(a3b)72，则向量a的模是()A2 B4C6 D12解析：(a2b)(a3b)a2ab6b2|a|2|a|b|cos 606|b|2|a|22|a|9672.|a|22|a|240.解得|a|6或|a|4(舍去)答案：C5若ab0，则a与b的夹角的取值范围是()A. B.C. D.解析：因为ab0，所以cos 0，所以.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6如图所示，在RtABC中，A90，AB1，则的值是_解析：方法一|cos(180B)|cosB|1.方法二|1，即为单位向量，|cosB，而|cosB|，所以|1.答案：
3、17已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为_解析：设a与b的夹角为，cos ，又因为0，所以.答案：8已知|a|3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为_解析：向量a在b方向上的投影为|a|cos 3cos.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9已知|a|3，|b|4，a与b的夹角为120，求：(1)a2b2；(2)(2ab)(a3b)解析：(1)a2b2|a|2|b|232427.(2)(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25|a|b|cos 1203|b|223253434260.10(1)已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|
4、ab|，|3ab|；(2)已知|a|b|5，且|3a2b|5，求|3ab|的值；(3)如图，已知在ABCD中，AB3，AD1，DAB，求对角线AC和BD的长解析：(1)ab|a|b|cos55，|ab| 5，|ab|5，|3ab|5.(2)|3a2b|29|a|212ab4|b|292512ab42532512ab，又|3a2b|5，32512ab25，则ab25.|3ab|2(3ab)29a26abb292562525400.故|3ab|20.(3)设a，b，则|a|3，|b|1，a与b的夹角.ab|a|b|cos .又ab，ab，|，|.AC，BD.能力提升(20分钟，40分)11已知O为
5、平面内的定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若()(2)0，则ABC是()A以AB为底边的等腰三角形B以BC为底边的等腰三角形C以AB为斜边的直角三角形D以BC为斜边的直角三角形解析：设BC的中点为M，则化简()(2)0，得到()(2)20，则0，AM是ABC的边BC上的中线，也是高，故ABC是以BC为底边的等腰三角形答案：B12设a，b，c是任意的非零向量，且互不共线，给出以下命题：(ab)c(ca)b0；(bc)a(ca)b不与c垂直；(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中为正确命题的是_(填序号)解析：(ab)c表示与向量c共线的向量，(ca)b表示与向量b共线的向量，而b
6、，c不共线，所以错误；(bc)a(ca)bc0，即(bc)a(ca)b与c垂直，故错误；显然正确答案：13已知向量a，b的夹角为30，且|a|，|b|1，求向量pab与qab的夹角的余弦值解析：pq(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2312.|p|ab|，|q|ab|1，cos .14已知|a|2|b|2，且向量a在向量b方向上的投影为1.(1)求a与b的夹角；(2)求(a2b)b；(3)当为何值时，向量ab与向量a3b互相垂直？解析：(1)由题意知|a|2，|b|1.又a在b方向上的投影为|a|cos 1，cos ，.(2)易知ab1，则(a2b)bab2b2123.(3)ab与a3b互相垂直，(ab)(a3b)a23abba3b24313740，.