1、嵌套函数与复合方程及应用一基本原理：一元二次方程根的分布对一元二次方程（其中）和二次函数，有：（1）方程的个根都比小的充要条件是（2）方程的个根都比大的充要条件是（3） 方程的一根都在内，另一根在内的充要条件是（4）方程的个根都在内的充要条件是（5）方程的一根比大，一根比大，一根比小的充要条件是.（6）方程的个根都在外，且一根比小，另一根比大的充要条件是二典例分析题型1. 已知函数，讨论一元二次型方程根的个数.解法剖析：换元，一元二次方程根的分布.例1.已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）ABCD解析：令，则，作的图象如图，设的零点为、，由图可知，要满足题意，则需
2、在上有两不等的零点，则，解得因此，实数的取值范围是. 故选：D.小结：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数和外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、，则函数的零点个数为.例2已知函数，若方程有8个相异实根，则实数的取值范围ABCD解析：令，则方程方程如图是函数，的图象，根据图象可得：方程有8个相异实根方程有两个不等实数解，且，可得故选：例3已知函数，若关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是A，B，C，D，解析：，的图象如下：设，则有三个不同的实数解，即为有两个根，若时，代入得，即，另一根为只有一个交点，舍去，若一个在上，一
3、个在，上时，设，解得故选：题型2. 型方程例4.已知函数，则函数的零点个数为个A7 B8 C9 D10解析：令得，令得或，解得或或或或作出的函数图象如图所示：由图象可知有4个解，有两个解，有4个解，共有10个零点故选：小结：求解复合函数零点问题的技巧:（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像（2）若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点,分配每个函数值被几个所对应,从而确定的取值范围,进而决定参数的范围.例5已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（ ）A0BCD1解析：根据题意，令，为常数，可得，且，所以时有，将
4、代入，等式成立，所以是的一个解，因为随的增大而增大，所以可以判断为增函数，所以可知函数有唯一解，又因为，所以，即，所以.故选：B.至此，我们就将以复合函数为背景的命题原理和常见手法做了展示.当然，限于篇幅，很多题目并未来得及展示，读者只需细心体会本节的内容，我觉得就可以基本上解决有关复合函数的问题了.三习题演练习题1设，若函数为单调递增函数，且对任意实数，都有是自然对数的底数），则方程的解的个数为个A1B0C3D2解析：设，则，则条件等价为，令，则，函数为单调递增函数，函数为一对一函数，解得，故，即，解得：，故选：2设定义域为的函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则值为A0B1CD不能确定解：作函数的图象，关于的方程有5个不同的实数解，方程有2个不同的实数解1，故，故选：
