1、第2课时任意角的三角函数(二)1.相关概念(1)单位圆：以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆(2)有向线段：带有方向(规定了起点和终点)的线段规定：方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之为负值2三角函数线(1)三角函数线的方向正弦线由垂足指向角的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角的终边或其反向延长线的交点(2)三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的，为正值，与x轴或y轴反向的，为负值小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)角的三角函数线是直线()(2)角的三角函数值等于三角函数线的长度()(3)第二象限的角没有正切线
2、()答案：(1)(2)(3)2有下列四个说法：一定时，单位圆中的正弦线一定；单位圆中，有相同正弦线的角相等；和有相同的正切线；具有相同正切线的两个角终边相同不正确说法的个数是()A0个B1个C2个 D3个解析：正确当确定时其sin 是确定的不正确例如和.正确，不正确答案：C3如图所示，在单位圆中角的正弦线、正切线完全正确的是()A正弦线PM，正切线ATB正弦线MP，正切线ATC正弦线MP，正切线ATD正弦线PM，正切线AT解析：为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，所以C正确答案：C4已知sin 0，tan 0，tan MP，符号相同，则sinsin；OMOM，符号相同，则coscos；
3、ATAT，符号相同，则tantan.利用三角函数线比较sin与sin，cos与cos，tan与tan的大小时，先在坐标系中画出，的正弦线、余弦线、正切线，再结合有向线段的长度和方向来比较大小.方法归纳利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：角的位置要“对号入座”；比较三角函数线的长度；确定有向线段的正负跟踪训练2设，试比较角的正弦线、余弦线和正切线的长度如果，上述长度关系又如何？解析：如图所示，当MPOM；当MPOM.由于时，sin，cos，tan都大于0，故可以直接根据角的正弦线、余弦线、正切线的长短来比较三者的大小类型三利用三角函数线解不等式例3求函数
4、f()的定义域【解析】要使函数f()有意义，则sin . 如图所示，画出单位圆，作直线y，交单位圆于P1，P2两点，连接OP1，OP2，过点P1，P2作x轴的垂线，垂足分别为M1，M2，易知正弦线M1P1M2P2.在0,2)范围内，sinsin，则点P1，P2分别在，的终边上，又sin ，结合图形可知，图中阴影部分(包括边界)即满足sin 的角的终边所在的范围，即当0,2)时，故函数f()的定义域为.要使函数f()有意义，则sin，利用三角函数线可得的取值范围，即函数f()的定义域方法归纳利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点一
5、般来说，对于sin xb，cos xa(或sin xb，cos xa)，只需作直线yb，xa与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围；对于tan xc(或tan xc)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得跟踪训练3在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合(1)sin ；(2)cos .解析：(1)作直线y，交单位圆于A，B两点，作射线OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图1所示的阴影部分，包括边界)即为角的终边所在的范围故满足要求的角的集合为.(2)作直线x，交单位圆于C，D两
6、点，作射线OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图2所示的阴影部分，包括边界)，即为角的终边所在的范围故满足条件的角的集合为2k，kZ.作单位圆画出角的三角函数线，结合图象写出角的范围1.2.1.2基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1对三角函数线，下列说法正确的是()A对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线B有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在D任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在解析：终边在y轴上的角的正切线不存在，故A，C错，对任意角都能作正弦线、余弦线，故B错，因此选D.答案：D2如果MP
7、和OM分别是角的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是()AMPOM0MPCOMMP0OM解析：因为是第二象限角，所以sin0，cos0，OM0OM.答案：D3有三个命题：和的正弦线长度相等；和的正切线相同；和的余弦线长度相等其中正确说法的个数为()A1B2C3 D0解析：和的正弦线关于y轴对称，长度相等；和两角的正切线相同；和的余弦线长度相等故都正确故选C.答案：C4使sin xcos x成立的x的一个区间是()A. B.C. D.解析：如图所示，画出三角函数线sin xMP，cos xOM，由于sincos，sincos，为使sin xcos x成立，由图可得在，)范围内，x.答案：A5如果
8、，那么下列各式中正确的是()Acos tan sin Bsin cos tan Ctan sin cos Dcos sin MPOM，即tan sin cos ，故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6比较大小：sin 1_sin(填“”或“”)解析：因为01，结合单位圆中的三角函数线，知sin 1sin.答案：0的解集是_解析：不等式的解集如图所示(阴影部分)，.答案：8用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是_解析：如图，sin 1MP，cos 1OM.显然MPOM，即sin 1cos 1.答案：sin 1cos 1三、解答题(每小题10分，共20分)9做出下列各角
9、的正弦线、余弦线、正切线(1)；(2).解析：(1)因为，所以做出角的终边如图所示，交单位圆于点P作PMx轴于点M，则有向线段MPsin，有向线段OMcos，设过A(1,0)垂直于x轴的直线交OP的反向延长线于T，则有向线段ATtan.综上所述，图中的有向线段MP，OM，AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线(2)因为，所以在第三象限内做出角的终边如图所示，交单位圆于点P用类似的方法作图，可得图中的有向线段MP、OM、AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线10利用三角函数线，求满足下列条件的角的集合：(1)tan 1；(2)sin .解析：(1)如图所示，过点(1，1)和原点作直线交单位圆于点P和
10、P，则OP和OP就是角的终边，所以xOP，xOP，所以满足条件的所有角的集合是.(2)如图所示，过作与x轴的平行线，交单位圆于点P和P，则sinxOPsinxOP，xOP，xOP，满足条件所有角的集合为.能力提升(20分钟，40分)11已知角的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则的终边在()A第一象限的角平分线上B第四象限的角平分线上C第二、第四象限的角平分线上D第一、第三象限的角平分线上解析：作图(图略)可知角的终边在直线yx上，的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.答案：C12若cos sin，利用三角函数线得角的取值范围是_解析：因为cos sin，所以cos sinsin，易知角的取值范围是(kZ)答案：(kZ)13若，试利用三角函数线证明sin cos 1.解析：如图所示，角的终边与单位圆交于点P，过点P作PMx轴，垂足为M，则sin MP，cos OM，OP1，由三角形两边之和大于第三边，可知MPOMOP，即sin cos 1.14求下列函数的定义域(1)y；(2)ylg(sin x).解析：(1)自变量x应满足2sin x0，即sin x.图中阴影部分就是满足条件的角x的范围，即.(2)由题意，自变量x应满足不等式组即则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，.