1、4数列在日常经济生活中的应用内容标准学科素养1.掌握单利、复利的概念和区别及它们本利和的计算公式.2.掌握零存整取模型、定期自动转存模型、分期付款模型的本质特点，并学会应用.抽象数学模型提升数学运算完善解答规范授课提示：对应学生用书第29页基础认识知识点一单利和复利预习教材P3235，思考并完成以下问题1在白毛女中，杨白劳借了黄世仁“一石五斗租子，二十五块钱驴打滚的账”，结果永远也还不上，这里的“驴打滚的账”，你知道是怎么回事吗？现实生活中我们银行又是采用怎样的计息方式呢？提示：“驴打滚”问题实际上是利滚利问题，本利越滚越多，所以永远还不上，与银行中的复利问题相似2若本金为P，存期为n，利率为
2、r，单利和复利计息方式在每一次计息时，本金上有什么区别？提示：单利计息时，不管哪一次计算利息，本金永远是P；而复利计息时，本金每一期都不同，1个存期过后，计息时本金是P(1r)，2个存期过后，重新计息时本金是P(1r)2，3个存期过后，再计息时本金是P(1r)3，n个存期过后，再重新计息时本金为P(1r)n.3若本金为1 000，存期为1年，月利率为0.3%，分别按单利和复利计息方式，到期时的本利和各是多少？提示：单利到期时，本利和为1 000(1120.3%)；复利到期时，本利和为1 000(10.3%)12.知识梳理1.单利单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息
3、，以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和(以下简称本利和)，则有SP(1nr)2复利把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式是SP(1r)n知识点二三种数列模型的应用思考并完成以下问题1某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行贷款的年利息为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，则每年应还多少元提示：设每年还款x元，需10年还清，那么各年还款利息情况如下：第10年付款x元，这次还款后欠款全部还清；第9年付款x元，过1年欠款全部还清时，所付款
4、连同利息之和为x(110%)元；第8年付款x元，过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(110%)2元；第1年付款x元，过9年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(110%)9元依题意得：xx(110%)x(110%)2x(110%)920 000(110%)10.解得x3 255(元)2“零存整取型”，存期n，每一次存款到期后的利息构成什么数列？到期后，每一次存款的本利和构成什么数列？提示：每一次存款到期后的利息构成等差数列，每一次存款的本利和也构成等差数列3“定期自动转存模型”，到期后，每一次存款的本利和构成什么数列？提示：到期后每一次存款的本利和构成等比数列4通过对分期付款模型的
5、应用，你能说出“分期付款模型”中的利息计算是单利还是复利吗？提示：在分期付款中，每还一次款，“没有还清的钱”都按照复利重新计算利息知识梳理1.零存整取零存整取，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，若每月存入本金为P元，每月利率为r，存期为n个月，则到约定日期后SP(1nr)2定期自动转存如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和，这种存款方式称为定期自动转存n年后，本利和为SP(1r)n3分期付款问题贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月
6、付款金额为自我检测1按活期存入银行1 000元，年利率是0.72%，那么按照单利，第5年末的本利和是()A1 036元 B1 028元C1 043元 D1 026元解析：第五年末的本利和是1 0001 0000.72%51 000361 036.答案：A2按复利计算，存入一笔5万元的三年定期存款，年利率为4%，则3年后支取可获得利息为()A(50.04)3万元 B5(10.04)3万元C3(50.04)万元 D5(10.04)35万元解析：3年后的本利和为5(10.04)3万元，利息为5(10.04)35万元答案：D3某人从2017年起，每年7月1日到银行新存入a元一年定期，若年利率r保持不变
7、，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2024年7月1日，将所有的存款及利息全部取回，他可取回的总金额是_元解析：这是“定期自动转存模型”，从2018年(作为第一年)起，每一年存款的本利和构成等比数列：a(1r)7，a(1r)6，a(1r)3，a(1r)，所以他可取回的总金额是a(1r)7a(1r)6a(1r)5a(1r).答案：授课提示：对应学生用书第30页探究一等差等比数列模型阅读教材P3233例1例2及解答题型：等差、等比数列模型方法步骤：确定数列类型；明确数列基本量；进行数列运算；回归还原到实际问题例1在美国广为流传的一道教学题目是：老板给你两种奖励的方案，一是每年末在上一次奖励的基
8、础上再加1 000元；二是每半年结束时在上一次奖励的基础上再加300元，请你选择一种，一般不擅长数学的，很容易选择前者根据以上材料，解答下列问题：(1)如果在公司连续工作10年，问选择哪一种方案获得的奖励多？多多少元？(2)如果第二种方案中的每半年再加300元改成每半年再加a元，问a取何值时选择第二种方案总是比第一种方案多获得奖励？解题指南把实际问题转化为数学模型，解答本题(1)可分别根据两种方案计算出奖励的数量，进而比较得出结果(2)据条件列出不等式，化简后，再转化为函数的最值(或恒成立)问题，求解可得解析(1)第10年的年末，依第一种方案构成首项为1 000，公差为1 000的等差数列，故
9、可得1 000(1210)1 00055 000(元)依第二种方案，则构成首项为300，公差为300的等差数列，可得300(1220)30063 000(元)因为63 00055 0008 000(元)，所以在该公司干10年，选择第二种方案比第一种方案获得的奖励多，多8 000元(2)第n年年末，依第一种方案，可得1 000(12n)1 000500n(n1)依第二种方案，可得a(1232n)aan(2n1)据题意，an(2n1)500n(n1)对所有正整数n恒成立，即a250对所有正整数n恒成立，只需a250.所以，当a时，选择第二种方案总是比第一种方案多获得奖励方法技巧等差数列和等比数列模
10、型的应用(1)在解以数列为数学模型的应用题时，要选择好研究对象，即选择好以“哪一个量”作为数列的“项”，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简单的问题可直接寻找“项”与“项数”的关系，对较复杂的问题可先研究前后项之间的关系(即数列的递推关系)，然后再求通项(2)解决数列应用问题首先要把实际问题抽象为数列问题，然后应用数列知识来分析、求解，最后回到实际问题中去作答其中第一步是解题的关键，通常从以下角度分析：哪些量具备数列特征把要求解的量一步一步分析，得到这些量构成数列的性质用通项公式或递推公式描述这些量的变化规律(3)解数列应用题的思路方法如图所示跟踪探究1.某企业进行技术改造，有两种方案：甲方
11、案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案；每年贷款1万元，每一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息若银行两种形式的货款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？(取1.05101.629，1.31013.786，1.51057.665)解析：方案甲：十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为130%，前10项和为S101(130%)(130%)2(130%)9.所以S1042.62(万元)又贷款本息总数为10(15%)10101.051016.29(万元)，甲方案净获利4
12、26216.2926.34(万元)乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为，前10项和为T10132.50(万元)，而贷款本息总数为111(15%)(15%)91.113.21(万元)，乙方案净获利325013.2119.29(万元)比较两方案可得甲方案获利较多探究二复利计算的应用例2某家庭打算10年以后新买一套住房，决定以一年定期的方式存款，计划从2012年起每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2020年初将所有存款和利息全部取出，则这个家庭共取回多少元？解题指南从2012年年初起，到2020年初取出为止，每一年求存款的本利和构成数列an，这是求数列an的前8项和解析
13、设从2012年年初到2020年年初的本利和组成数列an，到2020年为止，把2012年末存款的本利和看作a1，则2019年末存款的本利和为an，则a1a(1p)，a2a(1p)2a(1p)，ana(1p)na(1p)n1a(1p)a(1p)n1a(1p)(1n8)，所以这个家庭应取出的钱数为S8a(1p)a(1p)2a(1p)a(1p)8a(1p)7a(1p)a(1p)a(1p)10(1p)2a(1p)方法技巧复利计算的关键复利计算利息时，每一次求解，本金都在变化，抓住关键：上一年存款的利息作为本金在下一年要计算利息，每一年的本利和组成等比数列，根据等比数列前n项和公式求出最后的本利和跟踪探究
14、2.某煤矿从开始建设到出煤共需5年，每年国家投资100万元，如果按年利率为10%来考虑，那么到出煤时，国家实际投资总额是_万元(精确到0.001)解析：第五年投资本利和是100(110%)万元，第四年投资的本利和是100(110%)2万元，第一年投资的本利和是100(110%)5万元，所以an是以a1100(110%)为首项，q110%为公比的等比数列，到出煤时，国家实际投资总额是：S81001.1671.561(万元)答案：671.561探究三分期付款问题阅读教材P34例3及解答题型：分期付款模型方法步骤：设每期还款x元计算第k个月末还款后的本利欠款数Ak元还清时A120.计算出x.回答实际
15、问题例3已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.151.6)解题指南(1)由题意，设第n年末实际住房面积为an，则an1.1an1b且a11.1ab(m2)(2)由an1.1an1b求出a5，结合题意建立方程即可解得解析设第n年末实际住房面积为an(nN)(1)由题意，得a11.1ab(m3
16、)，a21.1a1b1.1(1.1ab)b1.21a2.1b(m3)(2)a31.1a2b1.1(1.12a1.1bb)b1.13a1.12b1.1bb，a41.1a3b1.1(1.13a1.12b1.1bb)b1.14a1.13b1.12b1.1bb，a51.1a4b1.1(1.14a1.13b1.12b1.1bb)b1.15a1.14b1.13b1.12b1.1bb1.6a1.6a6b，由题意1.6a6b1.3a，解得b，所以每年拆除的旧住房面积为m2.延伸探究本例中，条件不变，求“第n年末的实际住房面积的表达式”解析：由以上分析知：第n年末的实际住房面积an1.1na1.1n1b1.1n
17、2b1.1bb1.1na1.1na10b(1.1n1)方法技巧常见的分期付款问题的计算方法方法一：以“商品购买后n年贷款全部付清时，其商品售价增值多少和所付贷款增值多少”两条线列式计算方法二：直接以“顾客所欠贷款”为主线，求出每期应付款多少，总共应付款多少跟踪探究3.用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？解析：购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款组成数列an；则a12(255)
18、10%4(万元)a22(2552)10%3.8(万元)a32(25522)10%3.6(万元)an2255(n1)210%(万元)(n1，2，10)因而数列an是首项为4，公差为的等差数列，a543.2(万元)S1010431(万元)因此，第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元.授课提示：对应学生用书第31页 课后小结数列应用要注意的两个问题(1)数列应用问题的常见模型一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，那么该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an1and(d为常数)如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时，那么该模型是等比模型如果容易
19、找到该数列任意一项an1与它的前一项an(或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题(2)数列综合应用题的解题步骤审题弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题分解把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等求解分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答还原将所求结果还原到实际问题中素养培优混淆单利复利致误某人某年年初向银行贷款10万元用于买房，他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借款后次年年初开始偿还，若10年期贷款的年利率为6.15
20、%，且每年利息均按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，问每年应还多少元？(精确到1元)易错分析分期付款中，每月(年)均按复利计算，即上月(年)的利息要计入下月(年)的本金，贷款(或商品价值)与每期付款额在贷款付清之前，会随时间推移而不断增加，即分期付款的总额高于一次性付清的总额若忽视了这一实质，容易与单利产生混淆而致误，考查数学运算的学科素养自我纠正10万元在10年后(即贷款全部付清时)的价值为105(16.15%)10元，设每年还款x元，则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x(16.15%)9元，第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x(16.15%)8元，第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x元，于是105(16.15%)10x(16.15%)9x(16.15%)8x(16.15%)7x由等比数列的求和公式可得1051.061510x，其中1.0615101.81635.所以x13 684.故每年应还约13 684元.