1、1.2应用举例(一)自主学习 知识梳理1实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_的角叫仰角，在水平线_的角叫俯角(如图)(2)方位角指从正北方向_转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)(3)坡度坡面与水平面所成的二面角的度数2基线的定义：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线一般来说，基线_，测量的精确度越高 自主探究为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量，A、B、M、N在同一铅垂平面内飞机已经测量的数据有：A点到M、N点的俯角1、1；B点到M、N点的俯角2、2；A、B的距离d(如图所示)甲乙两位同学各自给出了计算
2、MN的两种方案，请你补充完整甲方案：第一步：计算AM.由正弦定理AM_；第二步：计算AN.由正弦定理AN_；第三步：计算MN.由余弦定理MN_.乙方案：第一步：计算BM.由正弦定理BM_；第二步：计算BN.由正弦定理BN_；第三步：计算MN.由余弦定理MN_.对点讲练知识点一测量距离问题例1要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求A、B之间的距离总结测量两个不可到达的点之间的距离问题首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中计算AC和BC.变式训练1如图所示，设A、B
3、两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算A、B两点的距离为()A50 m B50 mC25 m D. m知识点二测量高度问题例2如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD.总结在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解变式训练2江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且
4、两条船与炮台底部连成30，求两条船之间的距离知识点三测量角度问题例3在海岸A处，发现北偏东45的方向，距离A (1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？总结本例考查正弦、余弦定理的建模应用注意到最快追上走私船时两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD.变式训练3甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方
5、向行驶若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能尽快追上乙船？相遇时乙船行驶多少n mile?1距离问题测量平面距离时，往往把要测量的距离化为某一个三角形的一条边，再运用正弦定理或余弦定理加以求解2高度问题测量底部不可到达的建筑物的高度问题由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题3角度问题测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角. 课时作业一、选择题1已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C
6、的北偏东20，灯塔B在观测站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa km B.a km C.a km D2a km2如图所示，D、C、B三点在地面同一直线上，DCa，从C、D两点测得A点的仰角分别是、()，则A点离地面的高AB等于()A.B.C.D.3台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为()A0.5小时 B1小时 C1.5小时 D2小时4.甲船在岛B的正南A处，AB10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去当甲、
7、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是()A.分钟 B.小时C21.5分钟 D2.15分钟二、填空题5如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB为_6.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为_海里/小时7太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75的方向上，则小岛离开公路的距离是_ km
8、.三、解答题8.如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10海里问乙船每小时航行多少海里？1.2应用举例(一)知识梳理1(1)上方(2)下方(3)顺时针2越长自主探究对点讲练例1解如图所示，在ACD中，ACD120，CADADC30，ACCD km.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60.BC.ABC中，由余弦定理，得AB2()222cos 75325，AB km.A、B之间的距离为
9、km.变式训练1A例2解在ABC中，BCA90，ABC90，BAC，CAD.根据正弦定理得：即AC.在RtACD中，CDACsinCADACsin .答山的高度为.变式训练2解如图所示：CBD30，ADB30，ACB45AB30，BC30，BD30.在BCD中，CD2BC2BD22BCBDcos 30900，CD30，即两船相距30 m.例3解如图所示，设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD10t，BD10t，在ABC中，AB1，AC2，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC(1)2222(1)2cos 1206，BC，且sinABCsinBAC.ABC45，
10、BC与正北方向垂直CBD9030120，在BCD中，由正弦定理得sinBCD，BCD30.即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船变式训练3解如图所示，设两船在C处相遇，并设CAB，乙船行驶距离BC为x n mile，则ACx，由正弦定理得sin ，而60，30，即ACB30，ABBCa，从而BCa (n mile)答甲船应沿北偏东30方向前进才能尽快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a n mile.课时作业1B2A3B4A5.解析在BCD中，CBD.由正弦定理，得.BC在RtABC中，ABBCtanACB.620()解析由题意，SMN45，SNM105，NSM30.由正弦定理得.MN10()则
11、v货20()海里/小时7.解析如图，CAB15，CBA18075105，ACB1801051560，AB1 km.BCsin 15 (km)设C到直线AB的距离为d，则dBCsin 75 (km)8.解如图所示，连结A1B2，由已知A2B210，A1A23010，A1A2A2B2，又A1A2B218012060，A1A2B2是等边三角形，A1B2A1A210.由已知，A1B120，B1A1B21056045，在A1B2B1中，由余弦定理，B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200.B1B210.因此，乙船速度的大小为6030(海里/小时)答乙船每小时航行30海里
