1、安徽省太和第一中学2020-2021学年高二数学12月月考试题 文一、单选题(共0分)1(本题0分)某校高一年级从815名学生中选取30名学生参加庆祝建党98周年的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从815人中剔除5人，剩下的810人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ）A不全相等B均不相等C都相等，且为D都相等，且为2一组数据中的每一个数据都乘以3，再减去50，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.6，方差是3.6，则原来数据的平均数和方差分别是（ ）A17.2，3.6B54.8，3.6C17.2，0.4D54.8，0.43(本题0分)在中，角，所对的边分别为，
2、则“”，是“为锐角三角形”的（ ）条件A充分必要B充分不必要C必要不充分D既不充分也不必要4在一次语文考试的阅卷过程中，两位老师对一篇作文打出的分数都是两位的正整数，且十位数字都是，则两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于的概率为（ ）ABCD5(本题0分)一正方形地砖的图案如图所示，其内部花形是以正方形边长的一半为直径作弧而得到的，若一只蚂蚁落在该地砖内，则它恰好在阴影部分的概率为（ ）ABCD6(本题0分)直线过点，且、到的距离相等，则直线的方程是( )ABC或D或7(本题0分)下列说法中正确的是（ ）A若命题“”为假命题，则命题“”是真命题B命题“，”的否定是“，”C设，则“”是“”的
3、充要条件D命题“平面向量满足，则不共线”的否命题是真命题8(本题0分)执行如图所示的程序框图，若输出S的值为0.99，则判断框内可填入的条件是（ ）ABCD9(本题0分)已知命题：，；命题：，直线：与圆：有公共点，若为真，则实数的取值范围为（ ）ABCD10(本题0分)如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，、分别是和的中点，则与所成角的余弦值为（ ）ABCD11(本题0分)如图，在四棱锥中，平面，且，异面直线与所成角为，点都在同一个球面上，则该球的半径为（ ）ABCD12(本题0分)已知圆，过圆上一点P作圆的两条切线，切点分别是E、F，则的最小值是A6B5C4D3二、填空题(共0分
4、)13已知，直线：和直线：分别与圆：相交于、和、，则四边形的面积为_14(本题0分)已知命题p:实数x满足；命题q:实数x满足，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围为_15(本题0分)已知函数，对任意的，存在，使得恒成立，则的取值范围为_.16下列命题中正确的有_从名学生中，选取名学生组成参观团，先用简单随机抽样从人中剔除人，剩余的人再按系统抽样抽取人，则每人入选的可能性都是；若，则的值使得过可以做两条直线与圆相切的概率为；已知，则是的充分不必要条件；若“”是真命题，则的最大值为.三、解答题(共0分)17(本题0分)设命题p：函数的定义域为R；命题q：不等式对任意恒成立（）如果p是真命题，
5、求实数的取值范围；（）如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，求实数的取值范围18为了了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验将只小鼠随机分成、两组，每组只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如图所示的直方图：根据频率分布直方图估计，事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于”发生的概率.（1）根据所给的频率分布直方图估计各段频数；（附：频数分布表）组实验甲离子残留频数表组实验乙离子残留频数表（2）请估计甲离子残留百分比的中位数，请估计乙离子残留
6、百分比的平均值.19已知圆C过原点且与相切，且圆心C在直线上(1)求圆的方程；(2)过点的直线l与圆C相交于A,B两点, 且, 求直线l的方程20如图，在四棱锥中，为菱形，平面，连接，交于点O，E是棱上的动点，连接（1）求证：平面平面；（2）当面积的最小值是6时，求此时点E到底面的距离21(本题0分)某工厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间满足关系式为大于的常数)，现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：尺寸(mm)384858687888质量(g)16.818.820.722.42425.5对数据作了处理，相关统计量的值如下表：75.324.618.3101.4（
7、1）根据所给数据，求关于的回归方程(提示：由已知与呈线性关系)；（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品，现从抽取的6件合格产品中再任选3件，求恰好取得两件优等品的概率.(附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为)22如图，已知圆C1:与y轴交于O，A两点，圆C2过O，A两点，且直线C2O恰与圆C1相切.（1）求圆C2的方程.（2）若圆C2上有一动点M，直线MO与圆C1的另一个交点为N，在平面内是否存在定点P，使得|PM|=|PN|始终成立？若存在，求出定点P的坐标；若不存在，说明理由.参考答案1C【分析】抽样要保证机会均等，由此得出正确选项.【详
8、解】抽样要保证机会均等，故从名学生中抽取名，概率为，故选C.【点睛】本小题主要考查简单随机抽样、系统抽样等抽样方法的概念，属于基础题.2C【分析】根据均值和方差的公式计算可结果.【详解】设一组数据为，平均数为，方差为，所得一组新数据为，平均数为，方差为，则，所以，所以，所以，由题意得，所以，所以所以，所以，所以.故选：C.【点睛】关键点点睛：熟练掌握几个数据的均值和方差公式是解题关键.3C【分析】先化简，再利用充分必要条件的定义分析判断得解.【详解】中，即，因为，所以为锐角.当为锐角时，不一定为锐角三角形；当为锐角三角形时，一定为锐角.所以“”是“为锐角三角形”的必要非充分条件.故选：C【点睛
9、】方法点睛：判断充分必要条件，一般有三种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.我们要根据实际情况灵活选择方法，本题选择的是定义法判断充分必要条件.4C【分析】根据分步乘法计数原理确定两位老师打分组合出的所有基本事件总数，利用列举法可求得符合题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.【详解】用表示两位老师的打分，则的所有可能情况有种.当时，可取，共种；当，时，的取值均有种；当时，可取，共种；综上可得两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于的情况有种，由古典概型的概率公式可得所求概率.故选：C.5C【分析】先原图形分割为相同的四部分，研究第一部分，计算出一个小阴影的面积，再利用这
10、部分总面积，计算比值即得结果.【详解】如图，把原图形分割为相同的四部分，只需取其中一部分分析，设最小正方形的边长为1，则由小图知，一个小阴影的一半的面积为圆的面积的减掉一个小三角形的面积，即一个小阴影的面积为则蚂蚁落在该地砖内，恰好在阴影部分的概率为故选：C【点睛】本题解题关键是将图像分割成四块相同的部分，计算出一个小阴影的面积，进而利用面积比求得该几何概型的概率即可.6C【分析】由条件可知直线平行于直线或过线段的中点,当直线时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段的中点时，利用点斜式可得直线方程.【详解】设所求直线为由条件可知直线平行于直线或过线段的中点，（1）的斜率为，当直线时，的方程是
11、，即；(2)当直线经过线段的中点时，的斜率为，的方程是，即，故所求直线的方程为或，故选C.【点睛】本题主要考查直线的点斜式方程的应用，以及斜率公式、直线平行的充要条件，分类讨论思想的应用，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.7D【分析】利用逻辑联结词、全称命题的否定、不等式的性质、向量的性质等逐一判断各选项是否正确.【详解】选项A,若命题“”为假命题，则命题至少有一个假命题，即可能有一真一假，也可能两个都是假命题，所以“”可能是真命题，也可能是假命题，故A不正确.选项B,命题“，”的否定是“，”,故B不正确.选项C,，无法得出，故C不正确.选项D, 原命题的否命题时“平面向量满足，则共线”
12、，因为，所以由可得.所以，则或，即共线.故D正确.故选：D.【点睛】本题考查常用逻辑用语，涉及逻辑联结词、全称命题的否定、充要条件、否命题，综合考查了不等式的性质、平面向量的性质.与其他知识综合命题，是考查常用逻辑用语的一般方式.8C【分析】程序框图的功能计算可知，所以当时，终止循环，从而可得解.【详解】程序框图的功能是计算：，由得，所以当时，终止循环，故选：C【点睛】关键点点睛：弄清程序框图的功能是解题关键，属于基础题.9C【分析】由二次函数的图象与性质和直线与圆的位置关系，分别求得命题为真命题时，实数的取值范围，再结合为真命题，列出不等式组，即可求解.【详解】若为真命题，则由，可得，故；若
13、为真命题，由直线可化为，则直线所过定点，因为直线：与圆：有公共点，所以在圆上或圆内，可得，解得，若为真命题，则，解得.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据复合命题的真假求解参数的取值范围，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，以及直线与圆的位置关系，求得命题是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10D【分析】取的中点，连接、，设，证明出四边形为平行四边形，可知异面直线与所成的角为或其补角，设，计算出三边边长，利用余弦定理计算出，即可得解.【详解】取的中点，连接、，设，设，、分别为、的中点，则且，在正三棱柱中，且，为的中点，所以，且，则四边形为平行四边形，所以，所以，异面直线与所成的角为或其补角，
14、则，由余弦定理可得.因此，与所成角的余弦值为.故选：D.【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角11C【分析】由于所以 为异面直线与 所成角，故 ，可求，由于两两垂直，以为相邻的三条棱，补成一个长方体，可得体对角线即为外接球直径.【详解】由条件可知 ，所以
15、为异面直线 与 所成角，故 ，而，故 ，在直角梯形 中，易得 ，由于两两垂直，以为相邻的三条棱，补成一个长方体，则该长方体的外接球半径 即为所求的球的半径，由 ，故 .故选：C.【点睛】本题考查了异面直线所成角以及几何体外接球问题，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题.本题涉及两个关键点：（1）平移法解决异面直线所成角问题；（2）共点的三条棱两两垂直，可补全为长方体来解决外接球问题.12A【分析】本题首先可以通过圆的方程得出圆的圆心轨迹，然后画出圆的圆心轨迹图像以及圆的图像，通过图像可以得出线段的取值范围以及的解析式，最后通过函数性质即可得出结果【详解】由可得：圆的圆心在圆的圆周上运动，设
16、，则，由图可知：，由在上为增函数可知，当时，取最小值6，故选A【点睛】本题考查圆的相关性质，主要考查圆的方程的相关性质以及圆的切线的相关性质，考查推理能力，考查数形结合思想、方程思想以及化归思想，是难题138【解析】由题意，直线l1：x+2y=a+2和直线l2：2xy=2a1，交于圆心（a，1），且互相垂直，四边形ABCD是正方形，四边形ABCD的面积为48，故答案为：8.14【分析】由命题成立求得的范围为，由命题成立求得的范围为，由题意可得，可得 或由此求得实数的取值范围【详解】由，解得 记 由，得 或记或，是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，即，且 不能推出 ， 要使，当，则只需 ，当
17、，则只需 故所求实数m的取值范围是.即答案为【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，充分条件、必要条件、充要条件的定义，体现了等价转化的数学思想，属于中档题15【分析】对任意的，存在，使得恒成立，等价于在区间上恒成立，对的取值进行分类讨论，利用单调性求出和，列出关于的不等式组求得答案.【详解】当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，解得，因为，所以无解；当时，可知，当时，在区间上单调递增，其最小值为，所以有，无解，当时，在区间上单调减，在上单调增，其最小值为，所以有，解得，所以的取值范围是，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有根据题意将恒
18、成立问题向最值转化，求含参的函数在给定区间上的最值，属于中档题目.16【解析】从名学生中，选取名学生组成参观团，先用简单随机抽样从人中剔除人，剩余的人再按系统抽样抽取人，则每人入选的可能性都是；若，则的值使得过可以做两条直线与圆相切的概率为；解答如下：点（1，1）应在已知圆的外部，把点代入圆方程得：（1k）2+122，解得：k0或k2则k的值使得过A（1，1）可以做两条直线与圆（xk）2+y2=2相切的概率等于 故是正确的；已知，则是的充分不必要条件；： ；： 两者的集合互不包含的，故得到该命题为假；若“”是真命题，则小于函数的最打值，故得到故的最大值为。故是真命题；故答案为：。17（）实数的
19、取值范围是 （）实数的取值范围是【解析】试题分析：由二次函数和不等式的性质分别可得真和真时的的取值范围，再由“”为真命题，“”为假命题，则，一真一假，分类讨论取并集可得试题解析：（1）命题是真命题，则有，的取值范围为（2）命题是真命题，不等式对一切均成立，设，令，则，当时，所以命题“”为真命题，“”为假命题，则，一真一假真假，且，则得不存在；若假真，则得综上，实数的取值范围18（1）见解析；（2）甲离子残留百分比的中位数为，乙离子残留百分比的平均值为.【分析】（1）根据，求出、的值，利用频数、频率和总容量的关系求出每组的频数，填入表格即可；（2）由甲离子残留百分比直方图中位数左边矩形面积和为可
20、求出中位数，将每个矩形底边中点值与对应的矩形面积相乘，再将所得结果相加即可得出平均数.【详解】（1）事件：“乙离子残留在体内的百分比不高于”发生的概率，因此，频数分布表如下表所示：组实验甲离子残留频数表组实验甲离子残留频数表（2）设甲离子残留百分比的中位数为，解得.由频率分布直方图可知，乙离子残留百分比的平均值为.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估计中位数、平均数，考查计算能力，属于中等题.19(1)(2) x=2或4x-3y-2=0【详解】试题分析：（1）由题意圆心到直线的距离等于半径, 再利用点到直线的距离公式解出圆心坐标和半径即可(2)由题知,圆心到直线l的距
21、离为1分类讨论：当l的斜率不存在时,l:x=2显然成立 ；若l的斜率存在时, 利用点到直线的距离公式,解得k ；综上,直线l的方程为x=2或4x-3y-2=0（1）由题意设圆心,则C到直线的距离等于, 解得, 其半径圆的方程为(2)由题知,圆心C到直线l的距离当l的斜率不存在时,l:x=2显然成立 若l的斜率存在时,设,由得,解得,综上,直线l的方程为x=2或4x-3y-2=0 考点：圆的方程；点到直线的距离公式20（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证得平面，再由面面垂直的判定定理可得证（2）由（1）知平面，根据三角形的面积公式求得，作交于H，可得平面，从而求得点E
22、到底面的距离【详解】（1）证明：四边形是菱形，平面，平面，又，平面，又平面，平面平面（2）解：如图（1），连接，由（1）知平面，平面，由，得，当时，取到最小值，此时作交于H，平面，平面，如图（2），由，得点E到底面的距离【点睛】本题考查线面垂直的判定和面面垂直的判定定理，以及求点到面的距离，关键在于逐一满足判定定理所需的条件，在求点到面的距离时，可以采用几何法，由题目的条件直接过已知点作出面的垂线，运用求解三角形的知识，求点到面的距离，属于中档题.21（1）；（2）.【分析】（1）对，两边取自然对数得，令，得，推导出，由此能求出关于的回归方程（2）求得，68，78，即优等品有3件，从6件合格品
23、中选出3件的方法数为，从6件合格品取3件恰好2件为优等品的取法有种，由此能求出恰好取得两件优等品的概率【详解】（1）对两边取自然对数得，令，得，得，故所求回归方程为.（2）由，解得，则，即优等品有3件.记“恰好取得两件优等品”为事件，从件合格品中选出3件的方法数为，从件合格品中取3件，恰好2件为优等品的取法有种，则.故恰好取得两件优等品的概率为.【点睛】解答非线性拟合问题，先设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误
24、.22（1）；（2）存在，且为【解析】试题分析：（1）由（x4）2+（y2）2=20，令x=0，解得y=0或4圆C2过0，A两点，可设圆C2的圆心C1（a，2）直线C2O的方程为：y=x，即x2y=0利用直线C20与圆C1相切的性质即可得出；（2）存在，且为P（3，4）设直线OM的方程为：y=kx代入圆C2的方程可得：（1+k2）x2+（24k）x=0可得M的坐标同理可得N的坐标设P（x，y），线段MN的中点E，利用kPEk=1即可得出详解：（1）由（x4）2+（y2）2=20，令x=0，解得y=0或4圆C2过O，A两点，可设圆C2的圆心C1（a，2）直线C2O的方程为：y=x，即x2y=0直
25、线C2O与圆C1相切，=，解得a=1，圆C2的方程为：（x+1）2+（y2）2=，化为：x2+y2+2x4y=0（2）存在，且为P（3，4）设直线OM的方程为：y=kx代入圆C2的方程可得：（1+k2）x2+（24k）x=0xM=，yM=代入圆C1的方程可得：（1+k2）x2（8+4k）x=0xN=，yN=设P（x，y），线段MN的中点E则k=1，化为：k（4y）+（3x）=0，令4y=3x=0，解得x=3，y=4P（3，4）与k无关系在平面内是存在定点P（3，4）使得PM=PN始终成立点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.