1、第4讲 函数及其性质学校_ 姓名_ 班级_ 一、知识梳理基本概念1.函数的概念概念一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作yf(x)，xA三要素对应关系yf(x)，xA定义域自变量取值的范围值域所有函数值组成的集合yB|yf(x)，xA2.同一个函数(1)前提条件：定义域相同；对应关系相同.(2)结论：这两个函数为同一个函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，
2、这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.单调性与最值1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数yf(x)的定义域为D，且ID如果对任意x1，x2I，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称yf(x)在I上是增函数如果对任意x1，x2I，当x1f(x2)，则称yf(x)在I上是减函数图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在区间I具有单调性，区间I称为函数yf(x)的单调区间.2.
3、函数的最值一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0D：如果对任意xD，都有f(x)f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意xD，都有f(x)f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.奇偶性、周期性1.函数的奇偶性奇偶性定义图像特点偶函数一般地，设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则称yf(x)为偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，
4、则称yf(x)为奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.二、 考点和典型例题1、函数的概念【典例1-1】（2022河南长葛市第一高级中学模拟预测（理）已知是定义在R上的奇函数，且时，则（）A27B27C54D54【典例1-2】（2022河南长葛市第一高级中学模拟预测（文）若函数则（）A10B9C12D11【典例1-3】
5、（2022北京模拟预测）函数的定义域是_【典例1-4】（2022浙江模拟预测）已知，则_.【典例1-5】（2022浙江温州三模）已知函数 若，则实数a的值等于_.2、单调性及其应用【典例2-1】（2022北京二模）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（）ABCD【典例2-2】（2022贵州遵义三模（文）若奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（）ABCD【典例2-3】（2022河北唐山二模）已知函数，若，则x的取值范围是（）ABCD【典例2-4】（2022山西太原二模（文）已知函数，则（）A在上单调递增B在上单调递减C的图象关于直线x=1对称D的图象关于点对称【典例2-
6、5】（2022贵州遵义三模（文）已知函数满足：；在上单调递减，写出一个同时满足条件的函数_【典例2-6】（2022全国三模（文）函数的单调递减区间为_3、奇偶性及其应用【典例3-1】（2022内蒙古呼和浩特二模（文）函数满足，函数的图象关于点对称，则（）A-8B0C-4D-2【典例3-2】（2022内蒙古呼和浩特二模（文）已知函数，则图象为下图的函数可能是（）ABCD【典例3-3】（2022上海市市西中学高三阶段练习）已知函数是定义在R上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，若前2022项和小于零，则的值()A恒为正数B恒为负数C恒为0D可正可负【典例3-4】（2022河南开封三模（理）函数
7、的部分图象大致为（）ABCD【典例3-5】（2022安徽省芜湖市教育局模拟预测（文）下列函数中是奇函数的是（）ABCD4、函数性质的综合应用【典例4-1】（2022福建福州三模）已知函数，以下结论中错误的是（）A是偶函数B有无数个零点C的最小值为D的最大值为【典例4-2】（2022吉林白山三模（理）已知函数，若对任意，恒成立，则m的最大值为（）A1B0C1De【典例4-3】（2022江苏南京三模）已知，若x1，f（x2m）mf（x）0，则实数m的取值范围是（）A（1，）BC（0，）D【典例4-4】（2022全国高三专题练习）（多选题）已知函数，下列说法正确的是（）A若是偶函数，则B若，则函数是奇函数C若，则函数存在最小值D若函数存在极值，则实数a的取值范围是【典例4-5】（2022河南模拟预测（理）已知的定义域为R，若函数满足，则称为的一个不动点，有下列结论：的不动点是3；存在不动点；若函数为奇函数，则其存在奇数个不动点；若为偶函数，则其存在偶数个不动点；若为周期函数，则其存在无数个不动点；若存在不动点，则也存在不动点，以上结论正确的序号是_.【典例4-6】（2022上海市市西中学高三阶段练习）已知函数是偶函数，且，当时，则方程在区间上的解的个数是_