1、集合集合的概念我们把所要研究的事物全体称为集合，构成集合的事物称为元素，集合一般用大写字母A、B、C表示，元素一般用小写字母a、b、c表示。如果元素是集合A中的元素，记，否则记。有限集：只有有限个元素的集合。无限集：有无穷多个元素的集合。空集：不含有任何元素的集合叫空集，记。集合的表示方法列举法：如 ， 描述法：如 ，子集如果集合A中的元素都是B的元素，称A是B的子集（或称A包含于B），记。如：,则。并集：集合A与集合B的元素放在一起构成的集合，称为A与B的并集。记，即 。如： 则:交集：记集合A与集合B的公共元素构成的集合，称为A与B的交集，记 。 如：， 则: 绝对值与绝对值不等式几何意义
2、：点到原点的距离。 几何意义：点到点的距离。性质：1） ， 2） ，3） 4）设 ， 5） 6） 7） 例1：解下列不等式 1） ， 2） ， 3） 4） ， 5） 解：1） 2） 3） 或 或4） 5） 或 区间与邻域设 为实数， ，称为以 、 为端点的开区间，称为以 、 为端点的闭区间， 以上为有限区间， 以上为无穷区间称为 点的 邻域， 为对称中心， 为半径。称为 点的去心邻域。 函数的定义设有两个变量 与 ，当变量在实数某范围任取一值时，变量按确定的规则有确定的值与之对应，那么称是的函数，记。叫自变量，叫因变量，的取值范围称为函数的定义域，记。对称为函数在点的函数值，所有函数值的集合称
3、为值域。记。说明：（1）定义中的记号 表示自变量与因变量的对应法则。（2）函数的两要素：定义域与对应法则。与表示同一函数；与表示同一函数；与表示不同的函数；与表示不同函数。（3）单值函数与多值函数对于函数 ，如果对自变量 的一个取值，函数 只有一个数值与之对应，则称函数 是单值函数；如果对自变量 的一个取值，函数 有两个或更多个数值与之对应，则称函数 是多值函数；如： 是单值函数， 是多值函数。（4）定义域实际问题中建立的函数关系，其定义域要根据实际问题来确定，而用数学式表达的函数，当不表示任何实际意义时，其定义域由函数表达式来确定。定义域求法（i）分母不能为零；（ii）偶次根号内部分不能小于
4、零；（iii）对数函数中，真数部分要大于零；（iv）反三角函数 中要 。例2 求下列函数的定义域1） 2) 3) 4） 解：（1） 定义域为： （2） 定义域为：（2，3（3）定义域为： （4） 所以定义域为： 例3 已知 的定义域为 ，求 的定义域。解 的定义域为（0，1）例4 设 ,求 。解 例5 设 满足 ，求 。解 设 ，则 ， ，即 。例6 已知 ，求 。解 令 ，则 ，函数的表示方法公式法，表格法，图示法。分段函数：在不同区间上用不同的解析式表示的函数如： 符号函数： 例7设 求（1） 的定义域；（2） ；（3） 时， 解 （1）定义域为： （2） ， ， （3） 例8将函数 写成
5、分段函数的形式。解 例9设 ， 则 时， 的表达式为 。函数的简单性质. 单调性 设 在 内有定义,如果对于 且 ，有 ,则称 在 内单调增加；如果有 ，则称 在 内单调减少。单调增加、单调减少统称单调。如果 在整个定义域内单调，称 为单调函数。如： 在 单调减，在 单调增，所以不是单调函数。都是单调函数。.有界性设 在区间 有定义，如果存在数 ，使对于一切 ，有 成立，则称 在区间 有上界， 是 在区间 的一个上界。如果存在数 ，使对于一切 ，有 ，则称 在区间 有下界， 是 在区间 的一个下界。设 在区间 有定义，如果存在正数 ，使对于一切 ，有 成立，则称 在区间 有界，否则称在 为无界
6、。如果 在它的整个定义域内有界，称 为有界函数。如： 在区间1，2有界，在（0，1）无界，它不是有界函数。是有界函数，因为对一切 有 。是有界函数。显然，函数 在区间 有界的充分必要条件是：它在区间 既有上界又有下界。.奇偶性设 的定义域关于原点对称，如果对定义域中任何 ，有 ，称 为偶函数，如果有 ，称 为奇函数。偶函数的图形关于 轴对称，奇函数的图形关于原点对称。例10 判断下列函数的奇偶性（1） （2） （3） （4） （5） 解（1） 所以是奇函数；（2）是偶函数； （3）是非奇非偶函数；（4） 所以是奇函数；（5）是偶函数奇函数奇函数为偶函数，奇函数偶函数为奇函数，偶函数偶函数为偶函
7、数。例11设 在 内有定义， ，则 为奇函数， 为偶函数， 。.周期性对函数 ，如果存在正数 ，使对于定义域中的 有 ，称 为周期函数，使此式成立的最小正数 ，称为最小正周期。如： 是周期为 的周期函数，是周期为 的周期函数。如果 是以T为最小正周期的函数，则 的最小正周期为 。如： 的最小正周期是 。、反函数给定函数 ，如果变量 在值域内每取定一值时， 在定义域内有一值与之对应，则得到一个定义域为 的值域， 为自变量， 为因变量的函数 ，称其为 的反函数，记 习惯上用 作自变量， 作因变量，所以 的反函数记作 图形特点： 的图形与其反函数 的图形关于直线 对称。例12求下列函数的反函数（1） （2） （3） （4） （5） 解（1） ，所以反函数为 。（2） ，所以反函数为 。（3） ，所以反函数为 。（4） ， ， ， 所以反函数为 。（5） ， ，所以反函数为 。