1、2021 届高三一模暨春考数学模拟试卷七2020.10.12一、填空题：1若ABC中，4ab，30C，则ABC面积的最大值是_2若函数2()log1xaf xx的反函数的图像过点(2,3)，则 a _3过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面，若 OA 与该截面所成的角是60，则该截面的面积是_4设i 为虚数单位，在复平面上，复数2)2(3i对应的点到原点的距离为_5甲、乙两人从5 门不同的选修课中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有_种6若圆锥的侧面展开图是半径为 2 cm、圆心角为270 的扇形，则这个圆锥的体积为_3cm 7、已知Rx，条件xxp2:，
2、条件01:aaxq，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是_；8、已知等差数列 na的公差3d，nS 表示 na的前n 项和，若数列 nS是递增数列，则1a 的取值范围是_；9、在直角坐标平面 xOy 中，0,2A，1,0B，动点 P 在圆2:22 yxC上，则PA PB 的取值范围为_；10、已知函数 011xxxf，若关于 x 的方程 0322mxmfxf有三个不相等的实数解，则实数 m 的取值范围为_；11.已知数列na满足：11a ，112,nnnaaa aa（*nN），记数列na的前 n 项和为nS，若对所有满足条件的na，10S 的最大值为 M，最小值为 m，则
3、Mm12.已知函数1()|f xxax，若对任意实数 a，关于 x 的不等式()f xm在区间 1,32上总有解，则实数 m 的取值范围为二、选择题：13、若 a与bc都是非零向量，则“a ba c ”是“()abc”的()(A)充分但非必要条件(B)必要但非充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件14若无穷等差数列na的首项01 a，公差0d，na的前 n 项和为nS，则以下结论中一定正确的是（）（A）nS 单调递增（B）nS 单调递减（C）nS 有最小值（D）nS 有最大值15给出下列命题：（1）存在实数 使23cossin；（2）直线2x是函数xysin图象的一条对称轴；（3）)
4、cos(cos xy（Rx）的值域是1,1cos；（4）若，都是第一象限角，且，则tantan其中正确命题的序号为（）（A）（1）（2）（B）（2）（3）（C）（3）（4）（D）（1）（4）16、设 H 是 ABC的垂心，且3450HAHBHC，则BHCcos的值为（）A、1030B、55C、66D、1470三、解答题：17（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 7 分如图：已知AB平面 BCD，CDBC，AD 与平面 BCD 所成的角为30，且2 BCAB（1）求三棱锥BCDA 的体积；（2）设 M 为 BD 的中点，求异面直线 AD 与CM
5、所成角的大小（结果用反三角函数值表示）18、（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分.如图，某柱体实心铜质零件的截面边界是长度为 55 毫米线段 AB 和 88 毫米的线段 AC 以及圆心为 P，半径为 PB 的一段圆弧 BC 构成，其中60BAC（1）求半径 PB 的长度；（2）现知该零件的厚度为 3 毫米，试求该零件的重量（每 1 个立方厘米铜重8.9 克，按四舍五入精确到0.1克）(=Vsh柱底)19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 8 分.已知数列na各项均为正数，nS 为其前
6、 n 项的和，且na、nS、2na（*nN）成等差数列.（1）写出1a、2a、3a 的值，猜想并证明数列na的通项公式na；（2）设1nnbta（0t），nT 为数列 nb的前 n 项和，若对于任意*nN，都有*|nmTbmN,求实数t 的值.20.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 6 分如图：双曲线：2213xy的左、右焦点分别为12,F F，过2F 作直线l 交 y 轴于点Q（1）当直线l 平行于 的一条渐近线时，求点1F 到直线l 的距离；（2）当直线l 的斜率为1时，在 的右支上是否存在点 P，满足110F
7、P FQ？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若直线l 与 交于不同两点 AB、，且 上存在一点 M，满足40OAOBOM（其中O 为坐标原点），求直线l 的方程21.已知函数()|f xx xa，其中 a 为常数.（1）当1a 时，解不等式()2f x；（2）已知()g x 是以 2 为周期的偶函数，且当01x 时，有()()g xf x，若0a，且35()24g，求函数()yg x（1,2x）的反函数；（3）若在0,2 上存在 n 个不同的点ix（1,2,in，3n），12nxxx，使得12231|()()|()()|()()|8nnf xf xf xf xf xf x，
8、求实数 a 的取值范围.参考答案：一、填空题：1、1；2、2a；3、；4、53；5、60；6、873；7、1,0；8、,3；9、210,210；10、34,23；11、1078；12、2(,3；二、选择题：13、C；14、C；15、B；16、D；三、解答题：17（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 7 分（1）因为AB平面 BCD，所以ADB就是 AD 与平面 BCD 所成的角，即30ADB，且 AB 为三棱锥BCDA 的高（2 分）由2 BCAB，得32BD，又由CDBC，得22CD（3 分）所以，324213131ABCDBChSVBCD（
9、5 分）（2）取 AB 中点 E，连结 EM，EC，则 EM AD，所以EMC就是异面直线 AD 与CM所成的角（或其补角），（1 分）在 EMC 中，2EM，3CM，5EC，（3 分）所以，633225342cos222CMEMECCMEMEMC，（6 分）即63arccosEMC所以异面直线 AD 与CM 所成角的大小为63arccos（7 分）18、（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分解：(1)2255882 55 88 cos6077BC （2 分）所以55sin 605 3sin7714BCA，0,2BCA5 3arcsin
10、14BCA（4 分）所以5 32arcsin 14BPC（6 分）所以sin49sinBCPCPBBCPBPC（8 分）(2)2115 355 39 sin 6049(2arcsin)2214S（10 分）3 098.9562mm（12 分）所以重量为0.3 30.989 65 8.982.74282.7克（14 分）19.（1）解：由已知22nnnaaS，1 分所以11a，22a，33a，:2 分猜想nan3 分证明：2n 时，22nnnaaS，21112nnnaaS所以2211122nnnnnnnaaaaaSS得1110nnnnaaaa，5 分因为*0nanN，所以11nnaa 数列 na
11、为等差数列，又由（1）11a，22a 所以*nan nN7 分（2）解：由（2）知1mbmt，12nn nTtn.若mnbT，则112n nnmt，因为,m n 都是整数，所以对于任意*nN，1nt都是整数，进而1t是整数所以1,tkZk，此时112n nmk n，9 分设2mbT，则30mk，所以1k 或211 分当1k 时，对于任意*nN，*112n nmN 当2k 时，对于任意*nN，*322n nmN所以实数t 取值的集合为 1,1214 分20、解：（1）易得1(2,0)F，2(2,0)F，的渐近线方程为33yx，由对称性，不妨设3:(2)3 lyx,即320 xy，-2 分所以，1
12、(2,0)F 到l 的距离|22|213d.-4 分（2）当直线l 的斜率为1时，l 的方程为2yx，-5 分因此，(0,2)Q，-6 分又1(2,0)F，故1(2,2)FQ，设 右支上的点 P 的坐标为(,),(0)x yx，则1(2,)F Pxy，由110F P FQ，得 2(2)20 xy，-8 分又2213xy，联立消去 y 得2212150 xx，由根与系数的关系知，此方程无正根，因此，在双曲线 的右支上不存在点 P，满足110F P FQ.-10 分（3）设1122(,),(,)A x yB xy，则1212(,)44xxyyM，-11 分由 M 点在曲线上，故212212()4(
13、)134xxyy(*)设:(2)lyk x联立l 与 的方程，得2222(13)121230kxk xk-12 分由于l 与 交于不同两点，所以，33k .所以，21221213kxxk，因此，12121224(2)(2)()413kyyk xk xk xxkk.-14 分从而(*)即为22222124()3()481 31 3kkkk，解得22k .即直线l 的方程为220 xy.-16 分21.解：（1）解不等式12x x 当1x 时，220 xx，所以12x当1x 时，220 xx，所以1x ，综上，该不等式的解集为,24 分（每行 1 分）（2）当01x 时，g xx xa，因为 g
14、x 是以 2 为周期的偶函数，所以3111 1()()()2222 2ggga，由35()24g，且0a，得2a ，2 分所以当01x 时，(2)g xx x所以当12x时，2240,3g xgxgxxx4 分所以函数 1,2yg xx的反函数为310,3yxx6 分（3）当0a 时，在0,2 上 f xx xa，是0,2 上的增函数，所以 1223112nnnf xf xf xf xf xf xf xf xf所以 22 28fa，得2a ；2 分当4a 时，在0,2 上 f xx ax，是0,2 上的增函数，所以 1223112nnnf xf xf xf xf xf xf xf xf所以 2
15、228fa，得6a；4 分当 04a时，f x 在0,2 上不单调，所以 12231max2nnf xf xf xf xf xf xf x2()424aaf，22 24fa，在0,2 上，maxmax(),2 42af xff.12231max28nnf xf xf xf xf xf xf x，不满足.综上，a 的取值范围为,26,.8 分当42 a时，则221 a，所以)(xf在2,0a 上单调递增，在2,2a上单调递减，于是)()()()()()(13221nnxfxfxfxfxfxf242)0()2(2)(222maxaafafxf令822a，解得4a或4a，不符合题意；当20 a时，)(xf分别在2,0a、2,a上单调递增，在,2aa上单调递减，)()()()()()(13221nnxfxfxfxfxfxf422)2(242)2()2(2)()2()0()2(222aaaafafafffaf令84222 aa，解得322 a或322 a，不符合题意综上，所求实数 a 的取值范围为,26,
