1、太和一中20202021第一学期高二年级调研考试数学卷（平行班）满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ，B，C，D，2阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）A5B11C14D193某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是8
2、8，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（ ）A5B6C7D84是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：如果，那么.如果，那么.如果，那么.如果，那么与所成的角和与所成的角相等.其中正确的命题为（ ）ABCD5设点在直线上，若，且恒成立，则的值A B C D6如图，在正方体中，棱长为1，分别为与的中点，到平面的距离为（ ）ABCD7三棱锥中、两两互相垂直，则其体积（ ）A有最大值4B有最小值2C有最大值2D既无最大值也无最小值8在等腰直角三角形中，角为直角在内部任意作一条射线，与线段交于点，则的概率（ ）ABCD9从这9个数字中，选取4个数字，组成含有1对重复数字的五位数的种数有（ ）A302
3、40B60480C15120D63010高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（ ）A15种B90种C120种D180种11美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（ ）种A96B120C180D21612已知三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，侧棱底面，底面是正三角形，与底面所成的角是45.若正三棱柱的体积是，则球O的
4、表面积是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知一个进制的数与二进制的数相等，那么等于_14.直线l过点，且被两平行直线和所截得的线段长为9，则直线l的一般式方程是_.15将，五个字母排成一排，若与相邻，且与不相邻，则不同的排法共有_种.16直三棱柱内有一个体积为的球，若是边长为的等边三角形，则的最大值为_三、解答题：本题共6题，共70分(17题10分，18-22均为12分)。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。17某湿地公园经过近十年的规划和治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的300个地块，并设
5、计两种抽样方案，方案一：在该地区应用简单随机抽样的方法抽取30个作为样本区；依据抽样数据计算得到相应的相关系数；方案二：在该地区应用分层抽样的方法抽取30个作为样本区，调查得到样本数据（，2，30），其中和分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求方案二抽取的样本（，2，30）的相关系数（精确到0.01）；并判定哪种抽样方法更能准确的估计.附：相关系数，；相关系数，则相关性很强，的值越大，相关性越强.18（1）解不等式：（且）；（2）已知：
6、，求.19由于受疫情的影响，某国某市的一个小区505人参加某次核酸检测，根据年龄段使用分层抽样的方法从中随机抽取101人，记录其核酸检测结果(阴性或阳性).现将核酸检测呈阴性的人员，按年龄段分为5组：(0，20，(20，40，(40，60，(60，80，(80，100，得到如图所示频率分布直方图，其中年龄在(20，40的有20人.（1）估计核酸检测呈阴性人员的年龄的中位数；（2）用样本估计该小区此次核酸检测呈阳性的人数；（3）若此次核酸检测呈阳性的人中，男女比例为3：2，从中任选两人，求至少选到一名男性的概率20在多面体中，平面平面（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值21在平面直角坐
7、标系xOy中，已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线l与圆Q相交于不同的两点A，B，记AB的中点为E（）若AB的长等于，求直线l的方程；（）是否存在常数k，使得OEPQ？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由22已知圆：()，定点，其中为正实数.（1）当时，判断直线与圆的位置关系；（2）当时，若对于圆上任意一点均有成立(为坐标原点)，求实数的值；（3）当时，对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求实数的取值范围 太和一中20202021第一学期高二年级调研考试数学卷（平行班）参考答案1.试题分析：由题意知，样本容量为，其中
8、高中生人数为，高中生的近视人数为，故选B.2.首先初始化数据：，成立，执行不成立；成立，执行不成立；不成立，执行不成立；成立，执行成立；则程序跳出循环，输出.本题选择C选项.3【答案】B【解析】试题分析：甲组学生成绩的平均数是，乙组学生成绩的中位数是89，所以，选B.4【答案】A【详解】试题分析：如果,那么或相交,故错误；如果,则存在直线,使,由,可得,那么,故正确；如果,那么与无公共点,则,故正确；如果,那么与所成的角和与所成的角均相等,故正确；故选A. 5【答案】C【解析】由题意得当，所以直线过定点，当，所以直线过定点恒成立，又，,的斜率为直线的方程为，即；直线的方程为，即选C6【答案】B
9、【分析】设点到平面的距离为，利用建立方程可求解.【详解】设点到平面的距离为正方体棱长为1，又，解得即点到平面的距离为故选：B7【答案】C【分析】由条件可得，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为三棱锥中、两两互相垂直，所以因为，所以，当且仅当时等号成立所以故选：C8【答案】C【分析】求出满足时所扫过的角度，利用角度比可得概率【详解】当时，所求概率为故选：C9【答案】A【分析】本题首先可以确定选取4个数字有多少种方式，然后确定取1个数字出现两遍有多少种方式，再然后确定取两个位置放置重复数字有多少种方式，最后将剩下三个数字进行排列，并将得到的数字相乘，即可得出结果.【详解】在这9个数字中选取4个
10、数字，共有种，在4个数字中取1个数字出现两遍，共有种，在五位数中取两个位置放置重复数字，共有种，剩下三个数字共有种排列方式，故共有，故选：A.10【答案】B【分析】根据题意，5名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把5名同学分成3组，每组人数为2，2，1人，再将3组分配的3个服务小组即可.【详解】解：根据题意，5名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把5名同学分成3组，每组人数为2，2，1人，共有种，再将三组分配到3个服务小组，共有种，故选：B.11【答案】D【分析】根据题意，先将5人分成4组，减去甲乙在一起的1组，然后4组再安排到4个不同的部门可得答案.【详解】由故选
11、：D.12答案】A【分析】首先得到是与底面所成的角，再通过三棱柱的体积得到三棱柱的底面等边三角形的边长，最后通过球的半径，球心到底面距离，底面外接圆半径的关系计算【详解】因为侧棱底面，则是与底面所成的角，则故由，得设，则，解得所以球的半径，所以球的表面积13.，解得或 (舍去)故.故答案为4.14【答案】或【分析】先验证斜率不存在时符合题意，斜率存在时再设直线方程，联立直线求交点，根据交点距离列关系求得斜率，即得方程.【详解】当直线l斜率不存在时，方程为，与两直线交点分别是，距离为9，符合题意；当直线l斜率存在时，方程可设为，直线l与直线联立，得交点，直线l与直线联立，得交点，故两点间的距离为
12、，化简得，即直线方程为，即，综上，直线l方程为或.故答案为：或.15【答案】36【分析】可利用分步乘法计数原理，先排，再将捆绑，看作一个元素，插入三个空位之一，这时、产生四个空位，最后将插入与不相邻的三个空位之一即可.【详解】依题意，可分三步，先排，有种方法，产生3个空位，将捆绑有种方法，将捆绑看作一个元素，插入三个空位之一，有种方法，这时、产生四个空位，最后将插入与不相邻的三个空位之一，有种方法，根据分步乘法计数原理得：共有种，故答案为：36.16【答案】【分析】根据题意，为使球的体积尽可能的大时，球需与三棱柱内切，先保证截面圆与内切，记截面圆的半径为，根据题中条件，由面积公式，求出，判断此
13、时不能满足球在该棱柱内，为使球在在棱柱内，且体积最大，只能球与棱柱的上下底面相切，进而可得半径，求出体积.【详解】由题意知，为使球的体积尽可能的大时，球需与三棱柱内切，先保证截面圆与内切，记截面圆的半径为，则，即，所以， 又直三棱柱的高为，此时不能满足球在该棱柱内，因此为使球在棱柱内，且体积最大，只能球与棱柱的上下底面相切，即，球的半径最大只能是，此时.故答案为：.三17.（1）由题意可得，样区野生动物平均数为，又地块数为300，所以该地区这种野生动物的估计值为；（2）由题中数据可得，样本（，2，30）的相关系数为.因为方案一的相关系数为明显小于方案二的相关系数为，所以方案二的分层抽样方法更能
14、准确的估计.18.（1）原不等式即，也就是，且，化简得，解得，所以，原不等式的解集为.（2）依题意，的取值范围是，原等式化为，化简得，解得或，因为，所以应舍去，所以.19.(1)由频率直方图可知，因，所以所求中位数在,不妨设中位数为x，则,得.所以核酸检测呈阴性人员年龄的中位数为50；(2)因样本中核酸检测呈阴性的人员中年龄在有20人，设样本中核酸检测呈阴性的人数为n,则，即，用样本估计总体，所以该小区此次核酸检测呈阳性的人数为,即该小区此次核酸检测呈阳性的人数为5；（3）由（2）可知，此次核酸检测呈阳性的人数为5，又因其男女比例为3：2，所以其中男性为3人，女性为2人，将其3名男性分别记为1
15、，2，3，2名女性记为a,b，从中任选两人的基本事件有（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，3），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（a，b），共10种，其中至少有一名男性的基本事件有（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，3），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），共9种.所以至少选到一名男性的概率.20.（1）连接，在中，则，所以，即，又因为平面平面，平面平面，且，所以平面，因为平面，所以，由，且，平面，所以有平面，因为平面，所以，又因为，所以（2）过点作交的延长线于，连接，由，可得：，平面平面，面面，面，又平面，由（1）可知，即，由（
16、1）可知，平面，所以，即，可知，由等体积：，所以，则，解得，设直线与平面所成角为，则21.（）圆Q的方程可写成（x-6）2+y2=4，所以圆心为Q（6，0）设过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2|AB|=，圆心Q到直线l的距离d=，=，即22k2+15k+2=0，解得k=-或k=-所以，满足题意的直线l方程为y=-+2或y=-x+2（）将直线l的方程y=x+2代入圆方程得x2+（kx+2）2-12x+32=0整理得（1+k2）x2+4（k-3）x+36=0直线与圆交于两个不同的点A，B等价于=4（k-3）2-436（1+k2）=42（-8k2-6k）0，解得-k0，即k的取值范围为
17、（-，0）设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点E（x0，y0）满足x0=-，y0=kx0+2=kPQ=-，kOE=-，要使OEPQ，必须使kOE=kPQ=-，解得k=-，但是k（-，0），故没有符合题意的常数k22. (1) 当时,圆心为,半径为, 当时,直线方程为, 所以,圆心到直线距离为, 因为,所以,直线与圆相离. （2）设点，则，由得， ，代入得， ，化简得，因为为圆上任意一点，所以，又，解得，(3)法一:直线的方程为，设()，因为点是线段的中点，所以，又都在圆：上，所以即因为该关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，所以， 又为线段上的任意一点，所以对所有成立而 在上的值域为，所以所以又线段与圆无公共点，所以，.故实数的取值范围为 法二:过圆心作直线的垂线，垂足为，设，则则消去得， ， 直线方程为 点到直线的距离为 且又 为线段上的任意一点， ， 故实数的取值范围为