1、第8讲抛物线知 识 梳 理1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线其数学表达式：MFd(其中d为点M到准线的距离)2抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下辨 析 感 悟1对抛物线定义的认识(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()
2、(2)抛物线y24x的焦点到准线的距离是4.()2对抛物线的标准方程与几何性质的理解(3)(2013北京卷改编)若抛物线yax2的焦点坐标为(0,1)，则a，准线方程为y1.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.()感悟提升1一点提醒抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离牢记它对解题非常有益如(2)2两个防范一是求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程；二是求抛物线的焦点坐标
3、时，首先要把抛物线方程化为标准方程，如(3)考点一抛物线的定义及其应用【例1】 (2013江西卷改编)已知点A(2,0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|MN|_.解析如图所示，由抛物线定义知|MF|MH|，所以|MF|MN|MH|MN|.由MHNFOA，则，则|MH|MN|1，即|MF|MN|1.答案1规律方法 抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题【训练1】 (2014山东省
4、实验中学诊断)已知点P是抛物线y24x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|4时，|PA|PM|的最小值是_解析将x4代入抛物线方程y24x，得y4，|a|4，所以A在抛物线的外部，如图，由题意知F(1,0)，则抛物线上点P到准线l：x1的距离为|PN|，由定义知，|PA|PM|PA|PN|1|PA|PF|1.当A，P，F三点共线时，|PA|PF|取最小值，此时|PA|PM|也最小，最小值为|AF|11.答案1考点二抛物线的标准方程与几何性质【例2】 (2014郑州一模)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|
5、2|BF|AF|3，则此抛物线的方程为_解析如图，分别过A，B作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的定义知：|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130，AFx60，连接A1F，则AA1F为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|A1F1|AA1|AF|，即p，抛物线方程为y23x.答案y23x规律方法 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的
6、性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此【训练2】 (2014兰州一模)已知圆x2y2mx0与抛物线yx2的准线相切，则m_.解析抛物线的标准方程为x24y，所以准线为y1.圆的标准方程为2y2，所以圆心为，半径为.所以圆心到直线的距离为1，即1，解得m.答案考点三直线与抛物线的位置关系【例3】 已知A(8,0)，B、C两点分别在y轴上和x轴上运动，并且满足0， ，(1)求动点P的轨迹方程；(2)是否存在过点A的直线l与动点P的轨迹交于M、N两点，且满足97，其中Q(1,0)，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解(1)设B
7、(0，b)，C(c,0)，P(x，y)；则(8，b)，(x，yb)，(c，b)，(xc，y)8xb(yb)0.由，得by代入得y24x.动点P的轨迹方程为y24x.(2)当直线l的斜率不存在时，x8与抛物线没有交点，不符合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则l：yk(x8)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则(x11，y1)，(x21，y2)，由97，得(x11)(x21)y1y297.即x1x2x1x21k2(x18)(x28)97，(1k2)x1x2(18k2)(x1x2)164k297.将yk(x8)代入y24x得k2x2(416k2)x64k20.直线l与y24x交于不
8、同的两点，(416k2)24k264k20，即k，由求根公式得：x则x1x2，x1x264.代入式得：64(1k2)(18k2)164k297.整理得k2，k.k，这样的直线l不存在规律方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到求根公式；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式【训练3】 (2012新课标全国卷)设抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点(1)若BFD90，ABD
9、的面积为4 ，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值解(1)由已知可得BFD为等腰直角三角形，|BD|2p，圆F的半径|FA|p.由抛物线定义可知A到l的距离d|FA| p.因为ABD的面积为4 ，所以|BD|d4 ，即2p p4 ，解得p2(舍去)或p2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2(y1)28.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，ADB90.由抛物线定义知|AD|FA|AB|.所以ABD30，m的斜率为或.当m的斜率为时，由已知可设n：yxb，代入x22py得x2px2
10、pb0.由于n与C只有一个公共点，故p28pb0，解得b.因为m的纵截距b1，3，所以坐标原点到m，n距离的比值也为3.当m的斜率为时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.1认真区分四种形式的标准方程(1)区分yax2(a0)与y22px(p0)，前者不是抛物线的标准方程(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0)2抛物线的离心率e1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化抛
11、物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即|PF|x|或|PF|y|，它们在解题中有重要的作用，注意运用教你审题9灵活运用抛物线焦点弦巧解题【典例】 已知，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，若，求的值审题一审：由直线过抛物线焦点可利用焦点弦长公式求解二审：由点C为抛物线上一点，可设出C点坐标，利用OO O表示出点C坐标，将点C坐标代入抛物线方程求解解(1)直线AB的方程是y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，x所以x1x2，由抛物线定义得：|AB|x1x2pp9，所以p4，从而抛物线方
12、程为y28x.(2)由于p4,4x25pxp20可简化为x25x40，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4,4)；设C(x3，y3)，则(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)，又y8x3，即2(21)28(41)，即(21)241，解得0或2.反思感悟 (1)解决与抛物线的焦点弦有关问题，常用到x1x2，y1y2p2，|AB|x1x2p(为AB的倾斜角)，这些结论，就会带来意想不到的效果(2)解析几何中像这样可以引申推广的规律有很多，只要我们平时善于总结、归纳同类题的解题方法，并注意探究和发掘变换事物中所蕴涵的一般规律，就一定会有更多发现【自主体验】1(201
13、2安徽卷)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点若|AF|3，则|BF|_.解析法一由.得|BF|.法二设BFO，则由|AF|3，p2，得cos ，|BF|.答案2(2012重庆卷)过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|，|AF|BF|，则|AF|_.解析由2及|AB|AF|BF|，得|AF|BF|，再由解得|AF|，|BF|.答案基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是_解析分两类a0，a0)，则准线方程为x，由抛物线定义，M点到焦点的距离等于M点到准线的距离，所以有(3)5，p4.
14、所求抛物线方程为y28x，又点M(3，m)在抛物线上，故m2(8)(3)，m2.10设抛物线C：y24x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求证：是一个定值(1)解由题意可知抛物线的焦点F为(1,0)，准线方程为x1，直线l的方程为yx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x26x10，x1x26，由直线l过焦点，则|AB|AF|BF|x1x228.(2)证明设直线l的方程为xky1，由得y24ky40，y4k2y1y24k，y1y24，(x1，y1)，(x2，y2)x1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k
15、(y1y2)1y1y24k24k2143.是一个定值能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为_解析1的离心率为2，2，即4，.x22py的焦点坐标为，1的渐近线方程为yx，即yx.由题意，得2，p8.故C2：x216y.答案x216y2(2014洛阳统考)已知P是抛物线y24x上一动点，则点P到直线l：2xy30和y轴的距离之和的最小值是_解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|1，
16、所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d|PF|1.易知d|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d|PF|的最小值为，所以d|PF|1的最小值为1.答案13(2014泰州二模)已知椭圆C：1的右焦点为F，抛物线y24x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的倾斜角为120，那么|PF|_.解析抛物线的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x1.因为直线AF的倾斜角为120，所以tan 120，所以yA2.因为PAl，所以yPyA2，代入y24x，得xA3，所以|PF|PA|3(1)4.答案4二、解答题4(2014台州质量评估)已知抛物线C：x24y的焦点为F，过
17、点K(0，1)的直线l与C相交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为D.(1)证明：点F在直线BD上；(2)设，求DBK的平分线与y轴的交点坐标(1)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，y1)，l的方程为ykx1，由得x24kx40，x2k2从而x1x24k，x1x24.直线BD的方程为yy1(xx1)，即y(xx1)，令x0，得y1，所以点F在直线BD上(2)解因为(x1，y11)(x2，y21)x1x2(y11)(y21)84k2，故84k2，解得k，所以l的方程为4x3y30,4x3y30.又由(1)得x2x1，故直线BD的斜率为，因而直线BD的方程为x3y30，x3y30.设DBK的平分线与y轴的交点为M(0，t)，则M(0，t)到l及BD的距离分别为，由，得t或t9(舍去)，所以DBK的平分线与y轴的交点为M.
