1、2015年陕西省安康市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2015安康二模）设全集U=R，集合A=x|1og2x2，B=x|（x3）（x+1）0，则（CUB）A=（） A （，1 B （，1（0，3） C 0，3） D （0，3）【考点】： 交、并、补集的混合运算【专题】： 集合【分析】： 根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案【解析】： 解：集合A=x|1og2x2=（0，4，B=x|（x3）（x+1）0=（，13，+），CUB=（1，3），（CUB）A=
2、（0，3），故选：D【点评】： 本题考查集合混合运算，注意运算的顺序，其次要理解集合交、并、补的含义2（5分）（2015安康二模）已知向量=（1，），=（3，m），若向量与的夹角为，则实数m的值为（） A 2 B C 0 D 【考点】： 数量积表示两个向量的夹角【专题】： 平面向量及应用【分析】： 由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式，求得m的值【解析】： 解：由题意向量=（1，），=（3，m），若向量与的夹角为，可得：，解得 m=，故选：D【点评】： 本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用，属于基础题3（5分）（2015安康二模）若ab0，cd0，则一定有（
3、） A 0 B 0 C D 【考点】： 不等关系与不等式【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 利用不等式的性质即可得出【解析】： 解：cd0，cd0，ab0，acbd，故选：D【点评】： 本题考查了不等式的基本性质，属于基础题4（5分）（2015安康二模）在正项等比数列an中，若a1a9=16，则log2a5=（） A 2 B 4 C 8 D 16【考点】： 等比数列的性质【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 依题意，利用等比数列的性质，可求得a5=4，从而可得答案【解析】： 解：在正项等比数列an中，a1a9=16，a5=4，log2a5=log24=2，故选：A【点评】： 本题考查
4、等比数列的性质，考查对数的运算，属于基础题5（5分）（2015安康二模）函数y=x2+bx+c（x0，）是单调函数的充要条件是（） A b0 B b0 C b0 D b0【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 函数的性质及应用；简易逻辑【分析】： 根据二次函数的性质得出：0，b0，结合根据充分必要条件的定义可判断【解析】： 解：函数y=x2+bx+c（x0，+）是单调函数的根据二次函数的性质得出：0，b0，函数y=x2+bx+c（x0，）是单调函数的充要条件是b0，故选；A【点评】： 本题考查了二次函数的性质，充分必要条件的定义，属于容易题，难度不大，关键是理解定义即可6（5
5、分）（2015安康二模）角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2=（） A B C D 【考点】： 任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦【专题】： 计算题；三角函数的求值【分析】： 由条件可得，tan=2，再由二倍角的余弦公式和同角的平方关系和商数关系，计算即可得到【解析】： 解：由条件可得，tan=2，则cos2=cos2sin2=故选C【点评】： 本题考查任意角三角函数的定义和二倍角公式，同时考查同角的商数关系，考查运算能力，属于基础题7（5分）（2015安康二模）ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程x2xcosAcosBcos2=0有一根为1
6、，则ABC一定是（） A 直角三角形 B 等腰三角形 C 锐角三角形 D 钝角三角形【考点】： 解三角形【专题】： 计算题【分析】： 先把1代入方程，然后利用余弦的二倍角化简整理，最后利用两角和公式求得cos（AB）=1推断出A=B，则可知三角形的形状【解析】： 解：依题意可知1cosAcosBcos2=0，cos2=1cosAcosB=0，整理得cos（AB）=1A=B三角形为等腰三角形故选B【点评】： 本题主要考查了解三角形和三角形的形状判断解三角形常与三角函数的性质综合考查，应注意积累三角函数的基本公式8（5分）（2015安康二模）函数的图象的大致形状是（） A B C D 【考点】：
7、函数的图象【专题】： 数形结合【分析】： 先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案【解析】： 解：y=当x0时，其图象是指数函数y=ax在y轴右侧的部分，因为a1，所以是增函数的形状，当x0时，其图象是函数y=ax在y轴左侧的部分，因为a1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C符合题意故选C【点评】： 本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题9（5分）（2015安康二模）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围是（） A 1，2 B 1，0 C
8、 1，2 D 0，2【考点】： 函数的最值及其几何意义【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 利用基本不等式，先求出当x0时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可【解析】： 解：当x0时，f（x）=x+a，此时函数的最小值为a+2，若a0，则函数的最小值为f（a）=0，此时f（0）不是f（x）的最小值，此时不满足条件，若a0，则要使f（0）是f（x）的最小值，则满足f（0）=a2a+2，即a2a20解得1a2，a0，0a2，故选：D【点评】： 本题主要考查函数最值的求解，根据基本不等式的性质以及一元二次函数的性质是解决本题的关键10（5分）（2015安康二模）方程x2+x1=0的解
9、可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标，若方程x4+ax4=0各个实根x1，x2，xk（k4）所对应的点（xi，）（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是（） A （，3） B （3，3） C （3，） D （，6）（6，）【考点】： 函数的图象；二元一次不等式（组）与平面区域【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 原方程等价于x3+a=，分别作出y=x3+a与y=的图象：分a0与a0讨论，利用数形结合即可得到结论【解析】： 解：方程的根显然x0，原方程x4+ax4=0，等价为方程x3+a=，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=的交点的横坐标；曲线y=x3
10、+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的若交点（xi，）（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x与y=交点为：（2，2），（2，2）；所以结合图象可得：或，解得a6或a6，即实数a的取值范围是（，6）（6，），故选：D【点评】： 本题考查函数与方程的综合运用，利用数形结合是解决本题的关键注意合理地进行等价转化二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答卷中的横线上.11（5分）（2015安康二模）3x2dx=8，则a=2【考点】： 定积分【专题】： 导数的概念及应用【分析】： 根据定积分的法则计算即可【解析】： 解：3x2dx=x3=a3=8，解得a
11、=2，故答案为：2【点评】： 本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题12（5分）（2015安康二模）曲线y=在点（1，1）处的切线与轴x的交点的坐标为（，0）【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】： 计算题；导数的概念及应用【分析】： 由题意求导y=；从而写出切线方程，再求交点的坐标即可【解析】： 解：y=，y=；则y|x=1=2；故切线方程为y+1=2（x1）；当y=0时，1=2（x1）；解得，x=；故曲线y=在点（1，1）处的切线与轴x的交点的坐标为（，0）；故答案为；（，0）【点评】： 本题考查了导数的几何意义的应用及直线与坐标轴的交点的求法，属于基础题13（5
12、分）（2015安康二模）设a，b，c都是正数，且满足+=1则使a+bc恒成立的c的取值范围是（0，9）【考点】： 基本不等式【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 由题意得（a+b）（+）=1+4+，利用基本不等式的性质即可得出【解析】： 解：a，b，c都是正数，且满足+=1，（a+b）（+）=1+4+5+2=5+4=9，且仅当a=3，b=6时取等号a+bc恒成立，且c00c9故答案为：（0，9）【点评】： 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题14（5分）（2015安康二模）设不等式组其中a0，若z=2x+y的最小值为，则a=【考点】： 简单线性规划【专题】： 不
13、等式的解法及应用【分析】： 先画出满足条件的平面区域，通过图象得出函数z=2x+y过（1，2a）时，z取到最小值，从而得到关于a的方程，解出即可【解析】： 解：画出满足条件的平面区域，如图示：，显然函数z=2x+y过（1，2a）时，z取到最小值，22a=，解得：a=，故答案为：【点评】： 本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道中档题15（5分）（2015安康二模）下列说法：x为实数，x表示不超过x的最大整数，则f（x）=xx在R上是周期函数；函数y=e|x1|的图象关于轴y对称；函数f（x）=asin2x+bx+4，若f（lg）=2013，则f（lg2014）=2013；若等
14、差数列an满足a8+a9+a100，a8+a110，则当n=9时an的前n项和最大；其中真命题的序号是【考点】： 命题的真假判断与应用【专题】： 函数的性质及应用；简易逻辑【分析】： 判断函数f（x）的周期性，可判断；分析函数y=e|x1|的图象的对称性，可判断；分析函数的奇偶性，可判断；分析数列的单调性，可判断【解析】： 解：对于，f（x）=xx，f（x+1）=（x+1）x+1=x+1x1=xx=f（x），f（x）=xx在R上为周期是1的函数故正确；对于，函数y=e|x1|的图象关于直线x=1对称，故错误；对于，函数f（x）=asin2x+bx+4，是非奇非偶函数，故当f（lg）=2013，
15、f（lg2014）=2013不成立，故错误；对于，若等差数列an满足a8+a9+a100，则a90，a100，则当n=9时an的前n项和最大，故正确；故答案为：；【点评】： 本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的周期性，对称性，奇偶性及数列的单调性，难度中档三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（12分）（2015安康二模）命题P：已知a0，函数y=ax在R上是减函数，命题q：方程x2+ax+1=0有两个正根，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围【考点】： 复合命题的真假【专题】： 简易逻辑【分析】： 根据指数函数的单调性，可求出命
16、题p中实数a的取值范围；根据一元二次方程根的个数与的关系，可求出命题q：方程x2+2ax+1=0有两个正根，实数a的取值范围；综合讨论结果，可得答案【解析】： 解：若命题p为真，即函数y=ax在R上是减函数，所以0a1，若命题q为真，方程x2+ax+1=0有两个正根，即，则a2，因为p或q为真命题，p且q为假命题，所以命题p与q中一真一假，当p真q假时，则满足，即0a1； 当p假q真时，则满足，即a；综上所述，a的范围为a|0a1【点评】： 本题考查的知识点是复合命题的真假，指数次函数的单调性，一元二次方程根的个数与的关系，难度不大，属于基础题17（12分）（2015安康二模）已知函数f（x）
17、=sinxcos（x+）（0）图象的两相邻对称轴间的距离为（1）求的值；（2）求函数f（x）在0，上的最大值【考点】： 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【专题】： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】： （1）先化简求得解析式f（x）=，由f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为，可求周期，即可求w的值；（2）由（1）知，由，可得，即可求函数f（x）在0，上的最大值【解析】： 解：（1）=（5分）因为f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为则f（x）的周期，所以w=1（7分）（2）由（1）知；因为，所以；（9分）则当，即时，f（x）在上有最大值（12分）【点评】： 本题主要考查了三角函
18、数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，属于基础题18（12分）（2015安康二模）已知ABC三个顶点的坐标分别为A（0，2）、B（4，1）、C（6，9）（1）若AD是BC边上的高，求向量的坐标；（2）若点E在x轴上，使BCE为钝角三角形，且BEC为钝角，求点E横坐标的取值范围【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 计算题；平面向量及应用【分析】： （1）设D（x，y），求出向量AD，BC，BD的坐标，再由向量垂直和共线的条件，得到方程，解得即可；（2）设E（x，0），求得向量EB，EC的坐标，由向量的夹角为钝角的等价条件：数量积小于0，且不共线，计算即可得到范围【解析】： 解：（1）设
19、D（x，y），则=（x，y2），=（10，8），=（x4，y1），ADBC，则=0，即为10x+8（y2）=0，即5x4y+8=0，BDBC，则8（x4）=10（y1），即4x+5y21=0，解得，x=，y=，即有=（，）；（2）设E（x，0），则=（4x，1），=（6x，9），BEC为钝角，则（4x）（6x）+90，解得，5x3又，则9（4x）=6x，解得，x=则当5x3时，BCE为钝角三角形【点评】： 本题考查向量垂直和共线的坐标表示，考查向量的夹角为钝角的等价条件，属于中档题和易错题19（12分）（2015安康二模）如图，某观测站C在城A的南偏西20方向上，从城A出发有一条公路，走向是南
20、偏东40在C处测得距离C为31千米的公路上的B处有一辆车正沿着公路向城A驶去该车行驶了20千米后到达D处停下，此时测得C、D两处距离为21千米（1）求cosCDB的值；（2）此车在D处停下时距城A多少千米？【考点】： 解三角形的实际应用【专题】： 解三角形【分析】： （1）在CDB中，由余弦定理得：cosCDB=，由此能求出cosCDB的值（2）sinACD=sin（CDB60）=，由正弦定理得：AD=，由此能求出此车在D处停下时距城A处距离【解析】： 解：（1）在CDB中，由余弦定理得：cosCDB=（5分）（2）sinACD=sin（CDB60）=sinCDBcos60cosCDBsin6
21、0=，（7分）由正弦定理得：AD=15，（9分）此车在D处停下时距城A处15千米（10分）【点评】： 本题考查解三角形在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理和正弦定理的合理运用20（13分）（2015安康二模）设数列an的前n项和为sn，满足点（n，sn）在函数f（x）=x28x图象上，bn为等比数列，且b1=a5，b2+a3=1（1）求数列an和bn的通项公式；（2）设cn=anbn，求数列的前项n和Tn【考点】： 数列的求和；数列递推式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （1）由点（n，sn）在函数f（x）=x28x的图象上得到数列递推式Sn=n28n，由a
22、n=snsn1=求得数列的通项公式再由数列bn为等比数列，b1=a5=1，b2=2求得公比，代入等比数列的通项公式求得bn；（2）把an=2n9，bn=2n1代入cn=anbn，然后由错位相减法求得数列的前项n和Tn【解析】： 解：（1）点（n，sn）在函数f（x）=x28x的图象上，Sn=n28n，当n=1时，a1=s1=7，当n2时，an=snsn1=（n28n）（n1）28（n1）=2n9，而a1=7满足上式，an=2n9数列bn为等比数列，b1=a5=1，b2=2，q=2，则bn=2n1；（2）由（1）知an=2n9，bn=2n1，则，则 ， ，得，=（112n）2n11【点评】： 本
23、题考查了数列递推式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题21（14分）（2015安康二模）已知函数k（x）=lnx+1，f（x）=x，F（x）=k（x）+f（x）（1）当=1时，求函数的k（x）极值；（2）设F（x）=k（x）+f（x），若F（x）0恒成立，求实数的值；（3）设Tn=e1求证：n+1Tn【考点】： 数列与不等式的综合；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】： 导数的综合应用；等差数列与等比数列【分析】： （1）由已知k（x）的定义域为（0，+），k（x）=，由此利用导数性质能求出k（x）的极值（2）F（x）=lnx+x1，F（1）=0，由F（x）0恒成立
24、，利用导数性质能求出=1（3）当x1时，lnx1；x1时，lnxx1取x=，得，再由ln（n+1），能证明n+1Tn【解析】： （1）解：函数k（x）=lnx+1，k（x）的定义域为（0，+）（1分）=1，k（x）=（3分）当x1时，k（x）0，当0x1时，k（x）0，x=1时，k（x）取得极小值，无极大值，k（x）的极小值为k（1）=0.（5分）（2）解：函数k（x）=lnx+1，f（x）=x，F（x）=k（x）+f（x），令F（x）=lnx+x1，F（1）=0，由F（x）0恒成立，则F（x）在（0，1）上递减，在（1，+）上递增；即0x1时，F（x）0恒成立，得1x1时，F（x）0恒成立，得1综上，=1.（10分）（3）证明：由（1）得，k（x）k（1）=0，即：当x1时，lnx1由（2）得，x1时，F（x）F（1）=0，即：lnxx1取x=，得：1=即得：（nN+）（12分）又=ln（n+1）即n+1n+1Tn，nN+（14分）【点评】： 本题考查函数的极值的求法，考查实数的值的求法，考查不等式的证明，解题时要注意导数性质、数列与不等式性质的合理运用