1、考点突破练8空间向量与空间角、距离1.(2022江苏徐州模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为4的正方形,AB=3,BC=5.(1)求直线A1B与直线AC1所成角的余弦值;(2)若在线段BC1上存在一点D,且=t,t0,1,当ADA1B时,求t的值.2.(2022天津河西二模)如图所示,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD为直角梯形,ADBC,ABAD,AE底面ABCD,AECF,AD=3,AB=BC=AE=2,CF=1.(1)求证:BF平面ADE;(2)求直线BE与直线DF所成角的余弦值;(3)求点D到直线BF的距离.3.(2022江苏苏锡常镇四市一模)如
2、图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,AA1=AB=3,D,E分别为棱BC,B1C1上的点,且=t(0t1).(1)若t=,求证:AD平面A1EB;(2)若二面角C1-AD-C的大小为,求实数t的值.4.(2022河北保定一模)如图,在等腰梯形ABCD中,ADBC,AD=AB=CD=1,BCD=60,现将平面DAC沿AC折起至平面PAC,使得PB=.(1)证明:ABPC;(2)求二面角A-PC-B的余弦值.5.(2022辽宁锦州一模)如图,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD是菱形,AB=1,SC=,三棱锥S-BCD是正三棱锥,E,F分别为线段SA,SC
3、的中点.(1)求证:BD平面SAC;(2)求二面角E-BF-D的余弦值;(3)判断直线SA与平面BDF的位置关系.如果平行,求出直线SA与平面BDF的距离;如果不平行,请说明理由.6.(2022山东青岛模拟)如图,C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,平面PAC平面ABC,PAC为正三角形,E,F分别是PC,PB上的动点.(1)求证:BCAE;(2)若E,F分别是线段PC,PB的中点且异面直线AF与BC所成角的正切值为,记平面AEF与平面ABC的交线为直线l,点Q为直线l上的动点,求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围.考点突破练8空间向量与空间角、距离1. 解 (1)在ABC中,因为AC2
4、+AB2=BC2,所以ACAB.又AA1平面ABC,所以AA1,AC,AB两两垂直.以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4),A(0,0,0),所以=(4,0,4),=(0,-3,4).设直线A1B与直线AC1所成角为(090),则cos =,即直线A1B与直线AC1所成角的余弦值为.(2)依题意=t,t0,1.因为=(4,-3,4),=(0,3,-4),=(0,3,0),所以+t=(4t,3-3t,4t).因为,则=4t0+3(3-3t)-44t=0,解得t=.2.(1)证明 AECF,AE平面BFC,CF平
5、面BFC,AE平面BCF.ADBC,AD平面BCF,BC平面BCF,AD平面BFC.又AD,AE平面ADE,ADAE=A,平面ADE平面BFC.BF平面BFC,BF平面ADE.(2)解 以A为原点,分别为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,3,0),E(0,0,2),F(2,2,1),则=(-2,0,2),=(2,-1,1),cos=-,直线BE与直线DF所成角的余弦值为.(3)解 由(2)可知=(0,2,1),=(2,-1,1),cos=,sin=,点D到直线BF的距离为|sin=.3.(1)证明 当t=时,D,E分别为棱BC,B
6、1C1的中点,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,连接DE(图略),则DEAA1,DE=AA1,所以四边形DEA1A是平行四边形,所以ADA1E.又因为AD平面A1EB,A1E平面A1EB,所以AD平面A1EB.(2)解 (方法一)如图所示,在平面ABC内,过点C作AD的垂线,垂足为H,连接C1H,则C1HC为二面角C1-AD-C的平面角,即C1HC=.在RtC1HC中,C1C=3,所以CH=.在RtCHA中,CH=,AC=3,所以sinCAH=.又因为CAH为锐角,所以cosCAH=,且0CAH,所以点H在线段AD的延长线上.在CDA中,sinCDH=sin,CD=6-3,所以t=2-.(方法
7、二)由题可知AA1平面ABC,BAC=90,以为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0),C1(0,3,3),所以=(3,0,0),=(0,3,3),=(-3,3,0),=t=(-3t,3t,0),所以=(3-3t,3t,0).设平面AC1D的一个法向量为n1=(x,y,z),则令y=t-1,则x=t,z=1-t,故n1=(t,t-1,1-t).由题得平面ADC的一个法向量为n2=(0,0,1).因为二面角C1-AD-C的大小为,所以=cos,即,得t2-4t+2=0.又因为0t1,所以t=2-.4. (1)证明 在等腰梯形AB
8、CD中,过点A作AEBC于点E,过点D作DFBC于点F.因为在等腰梯形ABCD中,ADBC,AD=AB=CD=1,BCD=60,所以BE=CF=CD=,EF=AD=1,AE=DF=,所以AC=BD=,BC=2,所以BD2+CD2=BC2,所以BDCD,同理ABAC.又因为AP=AB=1,PB=,所以AP2+AB2=PB2,所以ABAP.又ACAP=A,AC,AP平面ACP,所以AB平面ACP.因为PC平面ACP,所以ABPC.(2)解 取线段AC的中点为M,线段BC的中点为N,则MNAB.因为AB平面ACP,所以MN平面ACP.因为AC,PM平面ACP,所以MNAC,MNPM.因为PA=PC,
9、线段AC的中点为M,所以PMAC,所以MN,MC,MP两两垂直.以M为原点,以MN所在直线为x轴,以MC所在直线为y轴,以MP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A0,-,0,B1,-,0,C0,0,P0,0,=0,-,=1,-,-.由题得,平面APC的一个法向量为m=(1,0,0).设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),则令y=1,则x=,z=,则n=(,1,),所以cos=.因为二面角A-PC-B为锐角,所以二面角A-PC-B的余弦值为.5.(1)证明 连接AC,交BD于点O,连接SO.因为四边形ABCD是菱形,所以O为AC,BD的中点,且BDAC.因为三棱锥S-BCD是
10、正三棱锥,SB=SD,O为BD的中点,所以BDSO.又SOAC=O,SO,AC平面SAC,所以BD平面SAC.(2)解 作SH平面BCD于点H,则H为正三角形BCD的中心,H在线段OC上,且OH=OC=,CH=OC=,SH=1.如图,以O为坐标原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A0,-,0,B,0,0,C0,0,D-,0,0,S0,1,E0,-,F0,所以=-,-,=-,=(-1,0,0).设n1=(x1,y1,z1)是平面EBF的法向量,则取x1=1,则y1=0,z1=1,故n1=(1,0,1).设n2=(x2,y2,z2)是平面DBF的法向量,则取y2=,则
11、x2=0,z2=-2,故n2=(0,-2).所以cos=-.又因为二面角E-BF-D是锐角,所以二面角E-BF-D的余弦值为.(3)解 直线SA与平面BDF平行.理由如下:连接OF,由(1)知O为线段AC的中点,且F为线段SC的中点,所以OFSA.又因为SA平面BDF,OF平面BDF,所以直线SA平面BDF.(或者用向量法判断直线SA与平面BDF平行:由(2)知n2=(0,-2)是平面BDF的一个法向量,=0,-,-1.因为n2=00+(-2)(-1)=0,所以n2.又因为SA平面BDF,所以直线SA平面BDF.)设点A与平面BDF的距离为h,则h为直线SA与平面BDF的距离.因为=0,-,0
12、,n2=(0,-2)是平面DBF的一个法向量,所以h=.6.(1)证明 因为C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点,所以BCAC.又平面PAC平面ABC,且平面PAC平面ABC=AC,BC平面ABC,所以BC平面PAC.因为AE平面PAC,所以BCAE.(2)解 由E,F分别是线段PC,PB的中点,连接AF,EF,所以BCEF.由(1)知BCAE,所以EFAE,所以在RtAFE中,AFE就是异面直线AF与BC所成的角.因为异面直线AF与BC所成角的正切值为,所以tanAFE=,即.又EF平面AEF,BC平面AEF,所以BC平面AEF.又BC平面ABC,平面EFA平面ABC=l,所以BCl,所以
13、在平面ABC中,过点A作BC的平行线即为直线l.以C为坐标原点,CA,CB所在直线分别为x轴,y轴,过点C且垂直于平面ABC的直线为z轴,建立空间直角坐标系.设AC=2,因为PAC为正三角形,所以AE=,则EF=2.由已知E,F分别是线段PC,PB的中点,所以BC=2EF=4.则A(2,0,0),B(0,4,0),P(1,0,),E,0,F,2,所以=-,0,=(0,2,0).因为BCl,所以设Q(2,t,0),tR,平面AEF的一个法向量为m=(x,y,z),则取z=,得x=1,y=0,所以m=(1,0,).又=(1,t,-),则|cos|=.设直线PQ与平面AEF所成角为,则sin =,所以直线PQ与平面AEF所成角的取值范围为.