1、公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！C1D1B1A1CABDE2021 届高三一模暨春考数学模拟试卷六2020.10.5一、填空题：1、已知数列 na的前 n 项和为21nnS ，则此数列的通项公式为_2、函数 1f xx的反函数是_3、612x的展开式中3x 项的系数为_（用数字作答）4、如右图，已知正方体1111ABCDA B C D，12AA，E 为棱1CC 的中点，则三棱锥1DADE的体积为_5、一个袋子中共有 6 个球，其中 4 个红色球，2 个蓝色球.这些球的质地和形状一样，从中任意抽取 2 个球，则所抽的球都是红色球的概率是_.6、已知直线l：0 xyb被圆 C：2
2、225xy所截得的弦长为 6，则b _.7、若复数(1)(2)aii在复平面上所对应的点在直线 yx上，则实数a _.8、函数()(3sincos)(3 cossin)f xxxxx的最小正周期为_.9、若函数221yaxax存在零点，则实数 a 的取值范围是_10、已知数列 na中，111,(1)1nnanana，若对于任意的 2,2a、*nN，不等式1321tnaan 恒成立，则实数t 的取值范围为_11、若 axaxxf3，且1,0 x上的值域为 1,0 f，则实数 a 的取值范围是_；12、设函数 0,06sinAxAxf，2,0 x，若 xf恰有 4 个零点，则下列结论中：若 xfx
3、f0恒成立，则0 x 的值有且仅有 2 个；xf在198,0上单调递增；存在 和1x，使得 211xfxfxf对任意2,0 x恒成立；公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！“1A”是“方程 21xf在2,0内恰有五个解”的必要条件.所有正确结论的编号是_；二、选择题：13.“1,2m”是“ln1m”的成立的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.设集合|1Axxa，1,3,Bb，若 AB，则对应的实数对(,)a b 有（）A.1 对B.2 对C.3 对D.4 对15设 na是等差数列，下列命题中正确的是()（A）若120aa，则230aa（
4、B）若130aa，则120aa（C）若120aa，则213aa a（D）若10a，则21230aaaa16元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买 2 只玫瑰与 1 只康乃馨所需费用之和大于 8元，而购买 4 只玫瑰与 5 只康乃馨所需费用之和小于 22 元；设购买 2 只玫瑰花所需费用为 A 元，购买 3 只康乃馨所需费用为 B 元，则 A、B 的大小关系是()（A）AB（B）AB（C）AB（D）A、B 的大小关系不确定三、解答题：17、在长方体 ABCD 1111A B C D 中（如图），11 AAAD，2AB=，点 E 是棱 AB 的中点（1）求异面直线1AD 与 EC 所成角的大小；（2
5、）九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.试问四面体1D CDE 是否为鳖臑？并说明理由.ABCDEA1B1C1D1公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！河流AB20km河流AB污水处理厂x18、已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，过2F 的一条直线交椭圆于 P、Q 两点，若12PF F的周长为 44 2，且长轴长与短轴长之比为 2:1.（1）求椭圆C 的方程；（2）若12F PF QPQ，求直线 PQ 的方程.19、如图所示，沿河有 A、B 两城镇，它们相距 20 千米以前，两城镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放
6、两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送）依据经验公式，建厂的费用为0.7()25f mm（万元），m 表示污水流量；铺设管道的费用（包括管道费）()3.2g xx（万元），x 表示输送污水管道的长度（千米）已知城镇 A 和城镇 B 的污水流量分别为13m、25m，A、B 两城镇连接污水处理厂的管道总长为 20 千米假定：经管道输送的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中请解答下列问题（结果精确到0.1）：（1）若在城镇 A 和城镇 B 单独建厂，共需多少总费用？（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇 A 到拟
7、建厂的距离为 x 千米，求联合建厂的总费用 y 与 x 的函数关系式，并求 y 的取值范围公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！20、已知函数)(xfy,若存在实数 m、k（0m），使得对于定义域内的任意实数 x，均有)()()(kxfkxfxfm成立，则称函数)(xf为“可平衡”函数，有序数对km,称为函数)(xf的“平衡”数对.（1）若1m，判断xxfsin)(是否为“可平衡”函数，并说明理由；（2）若aR，0a，当 a 变化时，求证：2)(xxf与xaxg2)(的“平衡”数对相同；（3）若1m、2m R，且2,1m、4,2m均为函数xxf2cos)(的“平衡”数对.当40 x
8、时，求2221mm的取值范围.21.数列na与 nb满足：1aa，1nnnbaa，nS 是数列na的前 n 项和（*n N）.（1）设数列 nb是首项和公比都为13的等比数列，且数列na也是等比数列，求 a 的值；（2）设121nnnbb ，若3a 且4naa对*n N 恒成立，求2a 的取值范围；（3）设4a，2nb，22nnnSC（*n N，2 ），若存在整数 k、l，且1kl，使得klCC成立，求 的所有可能值.公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！参考答案：一、填空题：112nna；2 211(1)fxxx；3160；4 43；5、25；6、4 2；7、3；8、；9、30,
9、3；10、,1；11、41,0；12、；二、选择题：13、A；14、D；15、C；16、A；三、解答题：17、解：（1）作CEEA/交CD 于 E，因为11ADAADE，所以12AED E，故 EAD1为正三角形，异面直线1AD 与 EC 所成角为606 分（2）E 是棱 AB 上的中点，则 ADE、CBE均为等腰直角三角形，故90DEC，所以 DEC为直角三角形.9 分由1DD 平面 ABCD，DECE，知 CE 平面1DD E，故1CED E，所以ECD1为直角三角形13 分而显然 1DD E、1DD C 均为直角三角形，故四面体1D CDE 四个面均为直角三角形，为鳖臑.14 分18、解
10、：（1）由条件知：2244 2ac，:2:1a b 222cba解得：2 2,2,2abc，4 分所以椭圆C 的方程为22184xy6 分（2）设直线2PF 的方程为：2,xty1122(,),(,)P x yQ xy；因为1212F PF QFOOPF OOQOPOQ，所以 OPOQPQ，所以OPOQ,所以12120 x xy y。9 分221842xyxty 222440tyty12122244,22tyyy ytt11 分公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！2121212121240 x xy yty yt yy解得：212,22tt 13 分所以直线 PQ 的方程为22
11、20 xy14 分19解（1）分别单独建厂，共需总费用0.70.71253255131.1y 万元4 分（2）联合建厂，共需总费用0.725353.23.2 20yxx（020 x）所以 y 与 x 的函数关系式为0.725 83.220yxx（020 x）8 分令 20h xxx（020 x）22202202021010020,40hxxxx10 分0.70.7121.525 83.22025 83.240127.4yy 的取值范围为121.5,127.4 14 分20、【解】（1）若1m，则xxfmsin)(kxkxkxfkxfsinsin)()(kxcossin2要使得)(xf为“可平衡
12、”函数，需使故0sincos21xk对于任意实数 x 均成立，只有21cosk3 分，此时32 nk，Zn，故 k 存在，所以xxfsin)(是“可平衡”函数（2）2)(xxf及xaxg2)(的定义域均为 R根据题意可知，对于任意实数 x，2222222kxkxkxmx即22222kxmx,即02222kxm对于任意实数 x 恒成立只有0,2km，故函数2)(xxf的“平衡”数对为0,2对于函数xaxg2)(而言，公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！kkxkxkxxaaaam2222222所以kkxxaam2222202222mamkkx，0222mamkk，即22mm，故2m，
13、只有0k，9 分，所以函数xaxg2)(的“平衡”数对为0,2综上可得函数2)(xxf与xaxg2)(的“平衡”数对相同（3）2cos2coscos2221xxxm，所以xxm221sin2cos4cos4coscos2222xxxm，所以1cos22xm由于40 x，所以1cos212x，故xm21tan22,0,2,1sec22xm2221mm 1tan2tan5tan4tan1222422xxxx5451tan522x，由于40 x，所以1tan02x时，56tan51512x832tan2122x，所以 12221mm821.（1）由条件得1()3nnb ，*Nn，即11()3nnna
14、a ，1 分则2113aa，23211()39aa，设等比数列 na的公比为 q，则322113aaqaa，又1(1)3a q ，则14a.3 分当14a，13q 时，111()43nna，*Nn，则111111111111()()()()()434334433nnnnnnaa 满足题意，公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！故所求的 a 的值为 14.4 分（2）当2n 时，1121nnnbb，21221nnnbb，212 1bb，以上1n 个式子相加得，12312222(1)nnnnbbn，2 分又12123baaa，则1222(12)(1)32412nnnbnana，即224
15、nnbna.由1210nnnbb 知数列 nb是递增数列，4 分又1nnnbaa，要使得4naa对*Nn恒成立，则只需34345400baabaa，即32421080baba，则281a .6 分（3）由条件得数列 na是以 4 为首项，2 为公差的等差数列，则42(1)22nann，2(422)32nnnSnn，则223222nnnnSnnC.2 分则222111(1)3(1)23242222nnnnnnnnnnnCC，当3n 时，224233428282(2)40nn ，即3n 时，1nnCC，则当3kl 时，klCC与klCC矛盾.4 分又1l ，即2l 时，232522kkk.当5k 时，2253253 52202216kkk ，又 205207207(2)3016216168 ，即当5k，2l 时，232522kkk，与232522kkk矛盾.又2kl，则3k 或 4，公众号：上海 maths做上海学生身边给力的辅助！当3k 时，2233233 325222kkk ，解得1 ；当4k 时，2243243 425222kkk，解得2 .综上得 的所有可能值为 1 和 2.8 分
