1、第16讲 平面向量及其应用学校_ 姓名_ 班级_ 一、知识梳理1.平面向量基本定理(1)平面向量的基底平面内不共线的两个向量a与b组成的集合a，b，常称为该平面上向量的一组基底，如果cxayb，则称xayb为c在基底a，b下的分解式.(2)平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得cxayb.2.平面向量的坐标一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果axe1ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a(x，y).3.平面向量的坐标运算(1)平面向量线性运算的坐标表示假设平面上两个向量a，b满足
2、a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)(R)，uavb(ux1vx2，uy1vy2)(u，vR).(2)向量模的坐标计算公式如果向量a(x，y)，则|a|.(3)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.4.向量平行的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx2y1x1y2.5.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作a，b，则称0，内的AOB为向量a与向量b的夹角，记作a，b.(2)向量的垂直：当a，
3、b时，称向量a与向量b垂直，记作ab.规定零向量与任意向量垂直.(3)数量积的定义：一般地，当a与b都是非零向量时，称|a|b|cosa，b为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作ab, 即ab|a|b|cosa，b.(4)数量积的几何意义：投影向量：设非零向量a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A，B，则称向量_为向量a在直线l上的投影向量或投影.投影的数量：一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cosa，b为向量a在向量b上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.两个非零向量a，b的数量积ab，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.
4、6.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角.(1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夹角：cos .(4)两非零向量ab的充要条件：ab0x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2|.7.平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律).(2)ab(ab)a(b)(结合律).(3)(ab)cacbc(分配律).8.平面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“
5、翻译”成几何关系.二、 考点和典型例题1、平面向量基本定理【典例1-1】（2022江苏苏州模拟预测）在中，点D在线段上，点E在线段上，且满足，交于F，设，则（）ABCD【答案】B【详解】设，因为所以有，因此，因为，所以，故选：B【典例1-2】（2022江苏南京外国语学校模拟预测）已知均为单位向量，且满足，则的值为（）ABCD【答案】B【详解】，同理故选：B.【典例1-3】（2022江西模拟预测（理）已知圆C的半径为2，点A满足，E，F分别是C上两个动点，且，则的取值范围是（）A6，24B4，22C6，22D4，24【答案】C【详解】取EF的中点M，连接CM，则，又，所以，所以，当且仅当向量与共
6、线同向时，取得最大值22；向量与共线反向时，取得最小值6，故选：C【典例1-4】（2022河南模拟预测（理）如图，在中，M为BC的中点，则mn（）A1BCD2【答案】C【详解】，而，故，而且不共线，故，故选：C.【典例1-5】（2022黑龙江哈九中模拟预测（文）设，是平面内两个不共线的向量，若A，B，C三点共线，则的最小值是（）A8B6C4D2【答案】A【详解】因为A，B，C三点共线，所以向量、共线，所以存在，使得，即，即，因为、不共线，所以，消去，得，因为，所以，当且仅当，时，等号成立.故选：A2、坐标运算及其数量积【典例2-1】（2022湖北华中师大一附中模拟预测）已知向量，若与反向共线，
7、则的值为（）A0B48CD【答案】C【详解】由题意，得，又与反向共线，故，此时，故.故选：C.【典例2-2】（2022全国二模（理）已知向量，若满足，则向量的坐标为（）ABCD【答案】D【详解】解：因为向量，所以，又，所以，解得，所以向量的坐标为，故选：D.【典例2-3】（2022河南高三阶段练习（理）在长方形中，点在边上运动，点在边上运动，且保持，则的最大值为（）ABCD【答案】A【详解】解：如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，则，则，其中，当时，当时，当时，取得最大值，最大值为故选：A【典例2-4】（2022河南方城第一高级中学模拟预测（理）已知向量
8、，为单位向量，则与的夹角为（）ABCD【答案】C【详解】由，两边平方可得：，因为向量，为单位向量，所以，即.因为，所以，即与的夹角为.故选：C【典例2-5】（2022内蒙古满洲里市教研培训中心三模（文）若，下列正确的是（）ABC方向上的投影是D【答案】C【详解】由已知，所以，因为，所以不平行，A错，因为，所以不垂直，B错，因为方向上的投影为，C对，因为，所以不垂直，D错，故选：C.3、综合应用【典例3-1】（2022北京潞河中学三模）已知菱形的边长为，则（）ABCD【答案】A【详解】解：，则.故选：A.【典例3-2】（2022北京工业大学附属中学三模）已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，
9、的最小值为（）AB2CD2【答案】A【详解】如图，设，当时，取得最小值，过作，即取得最小值为，因为与的夹角为，所以，所以.故选：A.【典例3-3】（2022内蒙古赤峰三模（文）若向量，满足，则与的夹角为（）ABCD【答案】B【详解】解：因为，所以，即，所以，设与的夹角为，则，因为，所以；故选：B【典例3-4】（2022重庆八中模拟预测）如图，在平行四边形中，E是的中点，与相交于O若，则的长为（）A2B3C4D5【答案】C【详解】在平行四边形中，E是的中点，与相交于O设， 则由，可得则，解之得，则则又，则，解之得，即的长为4故选：C【典例3-5】（2022宁夏平罗中学三模（文）已知函数，向量，在锐角中内角的对边分别为，(1)若，求角的大小；(2)在（1）的条件下，求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】(1)由题所以，即又因为，所以，.(2)由余弦定理，代入数据得：，整理得到解得，当且仅当时，等号成立.故的最大值为.【典例3-6】（2022江苏南通模拟预测）已知圆的内接四边形ABCD中，BC=2，(1)求四边形ABCD的面积；(2)设边AB，CD的中点分别为E，F，求的值【答案】(1)(2)【解析】(1)解：在中，在中，A，B，C，D四点共圆，因为，所以，所以，(2)解：由（1）可知即外接圆的直径，设的中点为，所以，
