1、31变化率与导数3.1.1变化率问题 31.2导数的概念内容标准学科素养1.了解导数概念的实际背景2.会求函数在某一点附近的平均变化率3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.利用数学抽象提升逻辑推理授课提示：对应学生用书第49页基础认识知识点一函数的平均变化率丰富多彩的变化率问题随处可见导数研究的问题就是变化率问题，那么，变化率和导数是怎样定义呢？(1)气球膨胀率气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)r3r(V).当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)r(0)0.62(dm)，气球的平均膨胀率为0.62(dm/L)类似地，当空气容量V从1 L增
2、加到2 L时，气球半径增加了r(2)r(1)0.16 (dm)，气球的平均膨胀率为0.16 (dm/L) 当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？提示：(2)高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)4.9 t26.5 t10.如果我们用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态，那么：求0t0.5和1t2这段时间内的.提示：在0t0.5这段时间里，4.05 (m/s)；在1t2这段时间里，8.2 (m/s)知识梳理函数的平均变化率对于函数yf(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数
3、值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子称为函数yf(x)从x1到x2的平均变化率习惯上用x表示x2x1，即xx2x1，可把x看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1x代替x2；类似地，yf(x2)f(x1)于是，平均变化率可表示为. 思考：观察函数yf(x)的图象(如图)，平均变化率表示什么？提示：过曲线上两点的割线的斜率知识点二函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率在高台跳水运动中，计算运动员在0t这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：(1)运动员在这段时间里是静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？提示：(1)运动员在这段时间里不是静止的(2)平均速度不能反映他
4、在这段时间里的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度h(t)4.9 t26.5 t10，求从2 s到(2t)s这段时间内平均速度13.14.9 t.我们发现，当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值13.1. 从物理的角度看，时间间隔|t|无限变小时，平均速度就无限趋近于t2时的瞬时速度因此，运动员在t2时的瞬时速度是13.1 m/s.为了表述方便，我们用li 13.1表示“当t2，t趋近于0时，平均速度趋近于确定值13.1”知识梳理瞬时变化率把式子：li li 叫做函数f(x)在xx0处的瞬时变化率注：
5、瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值，它刻画函数在某一点处变化的快慢知识点三导数的概念知识梳理一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是：li li ，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)li li .自我检测1如果质点M按规律s3t2运动，则在时间段2,2.1中相应的平均速度是()A4B4.1C0.41 D3答案：B2如图，函数yf(x)在A，B两点间的平均变化率是()A1 B1C2 D2答案：A3设函数f(x)在点x0附近有意义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b为常数)，则()Af(x)a Bf(x)b
6、Cf(x0)a Df(x0)b答案：C授课提示：对应学生用书第51页探究一求函数的平均变化率教材P75例1改编将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热如果第x h时，原油的温度(单位：)为yf(x)x27x15(0x8)计算从2 h到6 h时，原油温度的平均变化率解析：yf(6)f(2)6276152272154，x624，1，从2 h到6 h原油温度的平均变化率为1.例1已知函数f(x)2x23x5.(1)求当x14且x1时，函数增量y和平均变化率；(2)求当x14且x0.1时，函数增量y和平均变化率；(3)若设x2x1x，分析(1)(2)问中的平均变化率的几何意
7、义解析(1)yf(x1x)f(x1)2(x1x)23(x1x)52x3x154x1x2(x)23x.当x14且x1时，y4412321，所以平均变化率21.(2)当x14且x0.1时，y440.10.020.31.92，所以平均变化率19.2.(3)在(1)中，它表示曲线上点P0(4,39)与P1(5,60)连线所在直线的斜率；在(2)中，它表示曲线上点P0(4,39)与P2(4.1,40.92)连线所在直线的斜率方法技巧求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1)(2)再计算自变量的改变量xx2x1.(3)得平均变化率.跟踪探究1.求函数f(x)3x22在区间x0，
8、x0x上的平均变化率，并求当x02，x0.1时平均变化率的值解析：函数f(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率为6x03x.当x02，x0.1时，函数y3x22在区间2,2.1上的平均变化率为6230.112.3.探究二物体运动的瞬时速度教材P79习题3.1A组2题在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)4.9t26.5t10，求运动员在t1 s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况解析：4.9 t3.3，所以h(1)3.3.这说明运动员在t1 s附近以每秒3.3 m的速度下降例2某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1
9、表示，则物体在t1 s时的瞬时速度为_m/s.解析3t， (3t)3.物体在t1处的瞬时变化率为3，即物体在t1 s时的瞬时速度为3 m/s.答案3方法技巧求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度.(3)求瞬时速度，当t无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度延伸探究(1)若本例中的条件不变，试求物体的初速度(2)若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s?解析：(1)求物体的初速度，即求物体在t0时的瞬时速度，1t，li li (1t)1.物体在t0处的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.(2)设物体
10、在t0时刻的瞬时速度为9 m/s，(2t01)t，li li (2t01t)2t01，则2t019，t04.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.跟踪探究2.一质点M按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a_.解析：质点M在t2时的瞬时速度即为函数在t2处的瞬时变化率质点M在t2附近的平均变化率4aat，li 4a8，即a2.答案：2探究三求函数在某一点处的导数例3(1)求函数f(x)3x22x在x1处的导数解析y3(1x)22(1x)(31221)3(x)24x，3x4，y|x1li li (3x4)4.(2)
11、已知函数yax在x1处的导数为2，求a的值解析ya(1x)ax，a，li li a12，从而a1.方法技巧求函数yf(x)在点x0处的导数的三个步骤简称：一差，二比，三极限跟踪探究3.求函数f(x)在x1处的导数解析：yf(1x)f(1)1，f(1)li li .4已知f(x)3x2，f(x0)6，求x0.解析：f(x0)li li li (6x03x)6x0，又f(x0)6，6x06，即x01.授课提示：对应学生用书第52页课后小结(1)本节课的重点是函数yf(x)在xx0处的导数的定义(2)本节课需要重点掌握的规律方法：平均变化率的求法；瞬时速度的求法；利用定义求函数在某一点处的导数的方法(3)本节课的易错点是对导数的概念理解不清而导致出错注意：在导数的定义中，增量x的形式是多样的，但不论x是哪种形式，y必须选择相对应的形式.