1、学科：奥数教学内容：有关函数通性的试题选讲【内容综述】函数是数学上的一个基本而又重要的概念，在现代数学中，它几乎渗透到各个分支中。函数的性质主要指函数的对称性、单调性和周期性。函数图象的对称性反映了函数图象的局部与整体的关系，恰当地运用函数的对称性，往往可使问题简化。函数的奇偶性是对称性中最重要的特殊情形。函数的单调性可用函数值的比较给出证明，利用函数的单调性，可以比较实数的大小，证明一些不等式和确定某些函数的值域及最值。设f是D上的函数，如果存在常数T0，使得对每个xD，都有f(x+T)=f(x-T)=f(x)成立，则称f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期，如果f(x)的所有正周期中存
2、在最小值，称为周期函数f(x)的最小正周期，一般说函数的周期都是指最小正周期。例题分析：例1 已知函数y=f(x)(xR，且x0)，对任意非零实数都有，试判定f(x)的奇偶性。分析：欲判别f(x)的奇偶性，即找出f(-x)与f(x)之间的关系，可令，为此必求出f(-1)，而求f(-1)，又可令，为此又必先求出f(1)，而f(1)不难求得。解 令，则f(1)=2f(1)，所以f(1)=0。令，则f(1)=f(-1)+f(-1)，所以f(-1)=0。于是，在已知等式中，以-1，x分别代替，则f(-x)=f(-1)+f(x)，即f(-x)=f(x)，故f(x)为偶函数。说明 在以抽象的函数等为条件的
3、问题中，常常先考虑x取0，-1，1等的特殊值，再利用f(0)，f(1)的值来研究函数f(x)的性质。例2 设a是大于0的实数，f(x)是定义在全体实数R上的一个实函数，并且对每一实数x满足条件：1试证明：函数f(x)是周期函数，也就是，存在一个实数b0，使得对每一x都有f(x+b)=f(x)。2就a=1举出一个这种函数f(x)的例子，但f(x)不能是常数。分析 这是一道探索存在性的问题，题中给出的已知条件只有唯一的一个含有a的方程，直觉告诉我们，f(x)的周期定与a有关，于是，我们可从原方程出发，边递推边探索。解1，由 有 将代入但 故f(x+a)=f(x-a) 即f(x)是一个周期函数，且周
4、期b=2a。2现在我们来构造一个周期为2的，满足（1）式的函数f(x)，由于（1）式可化为这使我们想到最熟悉的周期函数：正余弦，但同时应注意到2f(x)-1非负、周期为2，所以可令即 不难证实它的确满足条件。说明 f(x)不唯一，显然，函数也是满足条件的一个函数。例3 证明：函数可以表示为两个单调递增的多项式函数之差。证：注意到恒等式而函数 都是单调递增的多项式函数，从而命题得证。说明 一般地，任意实系数多项式可表示为两个单调递增的多项式函数之差。例4 设二次函数的图象以y轴为对称轴，已知，而且若点在的图象上，则点在函数的图象上。（1）求的解析式（2）设，问是否存在实数，使内是减函数，在内是增
5、函数。分析 由已知条件的解析式不难求得，欲求，可按定义分别求出内分别是减函数，增函数的的范围，求出它们的交即可。解（1）因的对称轴为y轴，故，从而。设在的图象上，即，则点在的图象上，即。故，因此，。（2）由（1）可得 。设，则要使在内为减函数，只需，但，故只要，所以。然而当时，因此，我们只要，在，内是减函数。同理，当时，内是增函数。综上讨论，存在唯一的实数，使得对应的满足要求。例5 奇函数的定义域为R，当时，设函数的值域为，求a，b的值。分析 可先由已知条件写出在R上的解析式，再根据二次函数的单调性分情形讨论的最大值和最小值，从而得到关于a、b的方程。解：是奇函数时，函数式为因为与同时存在，所
6、以同号分以下情形讨论：（1）时，由 （2）时，由（3）时，由无解（5）时，由矛盾（6），由与矛盾。综上分析说明 本题源自第四届“希望杯”第二试解答题，重在考查学生的分类讨论问题能力和运用函数性质的解题能力。例6 函数的定义域关于原点对称，但不包括数0，对定义域中的任意实数x，在定义域中存在使，且满足以下3个条件。（1）定义域中的数，或，则。（2），（a是一个正常数）（3）当0x2a时，f(x)0。证明 （i）f(x)是奇函数；（ii）f(x)是周期函数，并求出其周期；（iii）f(x)在（0，4a）内为减函数。证：（i）对定义域中的x，由题设知在定义域中存在使，则f(x)为奇函数（ii）因f(a)=1，f(-a)=-f(a)=-1，于是若f(x)0，则若f(x)=0，则仍有 f(x+4a)=f(x)。f(x)为周期函数，4a是它的一个周期。（iii）先证在（0，2a）内f(x)为减函数，事实上，设，则，则（当）。所以 当时，于是即在（2a，4a）内，f(x)也是减函数，从而命题得证。