1、第4讲 导数的热点问题专题二 函数与导数栏目索引 高考真题体验 1 热点分类突破 2 高考押题精练 3 高考真题体验(2016课标全国乙)已知函数f(x)(x2)exa(x1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；解析答案(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x22.证 明 不 妨 设 x1x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)上单调递减，所以x1x2f(2x2)，即f(2x2)1时，g(x)1时，g(x)0，从而g(x2)f(2x2)0，故x1x20(0 xg(0)0，x(0,1)，即当 x(0,1)时，f(x)2xx33.解析答案(3)设
2、实数 k 使得 f(x)kxx33 对 x(0,1)恒成立，求 k 的最大值.解 由(2)知，当 k2 时，f(x)kxx33 对 x(0,1)恒成立.当 k2 时，令 h(x)f(x)kxx33，则 h(x)f(x)k(1x2)kx4k21x2.所以当 0 x4 k2k 时，h(x)0，因此 h(x)在区间0，4 k2k上单调递减.故当 0 x 4 k2k 时，h(x)h(0)0，即 f(x)2 时，f(x)kxx33 并非对 x(0,1)恒成立.综上可知，k的最大值为2.解析答案 思维升华 跟踪演练 1 已知函数 f(x)aln x1(a0).(1)当 x0 时，求证：f(x)1a11x；
3、解析答案 解析答案(2)在区间(1，e)上f(x)x恒成立，求实数a的取值范围.热点二 利用导数讨论方程根的个数方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的走势，通过数形结合思想直观求解.解析答案 例 2 设函数 f(x)ln xmx，mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；解 由题设，当 me 时，f(x)ln xex(x0)，则 f(x)xex2(x0)，当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，当 xe 时，f(x)取得极小值 f(e)ln eee2，f(x)的极
4、小值为2.解析答案(2)讨论函数 g(x)f(x)x3零点的个数.思维升华 解析答案 跟踪演练2 已知函数f(x)2ln xx2ax(aR).(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；解 当a2时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2x2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率kf(1)2，则切线方程为y12(x1)，即2xy10.解析答案(2)若函数 g(x)f(x)axm 在1e，e 上有两个零点，求实数 m 的取值范围.热点三 利用导数解决生活中的优化问题生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函数，
5、然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优.解析答案 例3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000 元(为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.思维升华 解 因为 V(r)5(300r4r3)，故 V(r)5(30012r2)，解析答案 令V(r)0，解得r15，r25(因为r25
6、不在定义域内，舍去).当r(0,5)时，V(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当 r(5,5 3)时，V(r)0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数.由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大.解析答案 跟踪演练 3 经市场调查，某商品每吨的价格为 x(1x0)；月需求量为 y2 万吨，y2 1224x2 1112x1.当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.(1)若 a17，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？(2)记需求量与供给量
7、相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a 的取值范围.返回 解 设 f(x)y1y2 1224x2(1112a)x72a21a，因为a0，所以f(x)在区间(1,14)上是增函数，若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f(x)在区间6,14)上有零点，所以f60，f140，即7a210a117 0，72a213a0，解得 0a17.解析答案 高考押题精练 已知函数 f(x)12x2(2a2)x(2a1)ln x.(1)当a0时，求曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；(3)对任意的 a32，52，x1，x21,2，恒有|f(x1)f(x2)|1x1 1x2|，求正实数 的取值范围.押题依据 押题依据 有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、导数与不等式等基础知识和基本方法，考查分类整合思想、转化与化归思想等数学思想方法.本题的命制正是根据这个要求进行的，全面考查了考生综合求解问题的能力.解析答案 返回
