1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评二十八平面向量的数量积及平面向量的应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若ab=1,则x=()A.-1B.-C.D.1【解析】选D.ab=12+(-1)x=2-x=1,所以x=1.2.(2020十堰模拟)若夹角为的向量a与b满足|b|=|a-b|=1,且向量a为非零向量,则|a|=()A.-2cos B.2cos C.-cos D.cos 【解析】选B.因为|b|=|a-b|=1,所以b2=a2-
2、2ab+b2,a2=2ab,|a|2=2|a|b|cos ,因为a为非零向量,所以|a|=2|b|cos =2cos .3.(2020铜川模拟)已知平面向量a=(-2,3),b=(1,2),向量a+b与b垂直,则实数的值为()A.B.-C.D.-【解析】选D.因为a=(-2,3),b=(1,2),所以a+b=(-2+1,3+2).因为a+b与b垂直,所以(a+b)b=0,所以(-2+1,3+2)(1,2)=0,即-2+1+6+4=0,解得=-.4.(2019广州模拟)已知非零向量a,b的夹角为60,|a|=2,|a-2b|=2,则|b|等于()A.4B.2C.D.1【解析】选D.因为|a-2b
3、|=2,所以|a-2b|2=4,a2-4ab+4b2=4,4-42|b|cos 60+4|b|2=4,解得|b|=1.(|b|=0舍去)5.已知|a|=6,|b|=3,向量a在b方向上的投影是4,则ab为()A.12B.8C.-8D.2【解析】选A.因为|a|cos=4,|b|=3,所以ab=|a|b|cos=12.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020太原模拟)如图所示,在等腰直角三角形AOB中,OA=OB=1,=4,则(-)=.【解析】由已知得|=,|=,则(-)=(+)=+=cos+=-.答案:-7.已知向量m与n满足|m|=1,|n|=2,且m(m+n),则向量m与n的夹角为
4、.【解析】设m,n的夹角为,因为m(m+n),所以m(m+n)=m2+mn=1+12cos =0,所以cos =-,又,所以=.答案:【变式备选】 已知向量a,b满足|a|=|b|=2且(a+2b)(a-b)=-2,则向量a与b的夹角为.【解析】设a与b的夹角为.由已知a2-2b2+ab=-2,4-8+4cos =-2,cos =,又0,所以=,即a与b的夹角为.答案:8.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=.【解析】在边长为2的正方形ABCD中,=0,因为=(+)(+)=(-)=+-=4+0-0-4=2.答案:2【变式备选】 已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,
5、则的值为;的最大值为.【解析】以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),t0,1,则=(t,-1),=(0,-1),所以=(t,-1)(0,-1)=1.因为=(1,0),所以=(t,-1)(1,0)=t1,的最大值为1.答案:11三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020西安模拟) 设向量a,b满足|a|=|b|=1,且|2a-b|=.(1)求|2a-3b|的值;(2)求向量3a-b与a-2b的夹角.世纪金榜导学号【解析】(1)因为|2a-b|2=4a2-4ab+b2=4-4ab+1=5,所以ab=
6、0,所以|2a-3b|=.(2)cos =,因为0,所以=.10.在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).世纪金榜导学号(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长.(2)设实数t满足(-t)=0,求t的值.【解析】(1)由已知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4).所以|+|=2,|-|=4.所以所求的两条对角线的长分别为4,2.(2)由已知,=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)=0得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,所以5t=-11,所以t=-.(15分钟35分)1.(5分)(2020潮州模
7、拟)已知向量a、b为单位向量,且a+b在a的方向上的投影为+1,则向量a与b的夹角为()A.B.C.D.【解析】选A.设向量a与b的夹角为,因为向量a、b为单位向量,a+b在a的方向上的投影为+1,所以(a+b)a=|a|,变形得1+ab=+1,即ab=11cos =cos =,又由0,则=,故选A.2.(5分)(2020大同模拟) 已知i,j为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+j,且a与b的夹角为锐角,则实数的取值范围是()A.B.C.(-,-2)D.【解析】选C.不妨令i=(1,0),j=(0,1),则a=(1,-2),b=(1,),因为它们的夹角为锐角,所以ab=1-20且a,b
8、不共线,所以0,xR.若函数f(x)=mn的最小正周期为.世纪金榜导学号(1)求的值.(2)在ABC中,若f(B)=-2,BC=,sin B=sin A,求的值.【解析】(1)f(x)=mn=2sin xcos x+cos2x-sin2x=sin 2x+cos 2x=2sin.因为f(x)的最小正周期为,所以T=,又0,所以=1.(2)由(1)知f(x)=2sin.设ABC中角A,B,C所对边分别是a,b,c.因为f(B)=-2,所以2sin=-2,即sin=-1,又0B,解得B=.因为BC=,即a=,又sin B=sin A,所以b=a,b=3.由正弦定理得,=,解得sin A=.又0A,解
9、得A=,所以C=,c=a=,所以=cacos B=cos =-.5.(10分)在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),|=1,且AOC=x,其中O为坐标原点.世纪金榜导学号(1)若x=,设点D为线段OA上的动点,求|+|的最小值.(2)若x,向量m=,n=(1-cos x,sin x-2cos x),求mn的最小值及对应的x值.【解析】(1)设D(t,0)(0t1),当x=时,可得C,所以+=,所以|+|2=+(0t1),所以当t=时,|+|2取得最小值为,故|+|的最小值为.(2)由题意得C(cos x,sin x),m=(cos x+1,sin x),则mn=1
10、-cos2x+sin2x-2sin xcos x=1-cos 2x-sin 2x=1-sin.因为x,所以2x+.所以当2x+=,即x=时,mn=1-sin取得最小值1-,所以mn的最小值为1-,此时x=.1.已知向量与的夹角为,|=2,|=1,=t,=(1-t),|在t0时取最小值,当0t0时,cos 的取值范围为世纪金榜导学号()A.B.C.D.【解析】选D.建立如图所示的平面直角坐标系,则由题意有:A(2,0),B(cos ,sin ),由向量关系可得:=t=(2t,0),=(1-t)=(1-t)cos ,(1-t)sin ),则:|=|-|=,整理可得:|=,满足题意时:t0=-=-,据此可得三角不等式:0-,解得:-cos ,即cos 的取值范围是.2.已知圆O的半径为1,A,B是圆上的两点,且AOB=,MN是圆O的任意一条直径,若点C满足=+(1-) (R),则的最小值为.世纪金榜导学号【解析】由题意可得=(+)(+)=+(+)+,因为MN是圆O的任意一条直径,所以+=0,=-1,所以=+0-1=-1.要求的最小值问题就是求的最小值,因为=+(1-)(R),所以点C在直线AB上,则当C在AB中点时,OCAB,OC最小为等边三角形AOB的高线为,此时=,故的最小值为-1=-.答案:-关闭Word文档返回原板块
