1、北京市平谷区2021届高三下学期3月质量监控（零模）数学试卷 解析版 2021.3 第1卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共10小題，每小题4分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1若集合，则等于（ ）A.B.C.D.2设复数满足，则等于（ ）A.B.C.D.3.的展开式中的系数是（ ）A.28B.56C.112D.2564一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（ ）主（正）视图 左（侧）视图 俯视图A.B.C.D.5设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ）A.6B.4C.3D.26函数的图象与函数的图象的交点个数为（ ）A.0B.1C.2D
2、.37已知函数则“是偶函数“是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8已知分别是双曲线的两个焦点，双曲线和圆的一个交点为，且，那么双曲线的离心率为（ ）A.B.C.2D.9.已知数列满足，且对任意，都有，那么为（ ）A.B.C.D.1010某时钟的秒针端点到中心点的距离为5cm，秒针绕点匀速旋转，当时间：时，点与钟面上标12的点重合，当两点间的距离为（单位：cm），则等于_A.B.C.D.第II卷非选择题（共110分）二、填空題（本大题共5小题，每小题5分，共25分；请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11函数的定义域是_.12已知抛物线上一点
3、到焦点的距离为3，那么点到轴的距离为_.13已知在直角三角形中，那么等于_；若是边上的高，点在内部或边界上运动，那么的最大值是_.14已知函数，在上单调递增，那么常数的一个取值_.15从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去儿年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果）根据上述信息，下列结论中正确的是2015年这一年，高铁运营里程数超过0.5万公里；2013年到2016高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率；从2010年至2016年，新增高铁运营里
4、程数最多的一年是2014年；从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增；其中所有正确结论的序号是_.三、解答题（本大題共6小題，共85分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（本小题满分13分）如图，在四棱维中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，（I）求证：平面；（II）求二面角的余弦值17（本小题满分13分）在锐角中，角的对边分別为，且（I）求角的大小；（II）再从下面条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求的面积条件.;条件：.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.18（本小题满分14分）随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高，某牛奶
5、企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查，现从消费者人群中随机抽取500人次作为样本，得到下表（单位：人次）：满意度老年人中年人青年人酸奶鲜奶酸奶鲜奶酸奶鲜奶满意100120120100150120不满意503030505080（I）从样本中任取1个人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；（II）从该地区的老年人中抽取2人，青年人中随机选取1人，估计这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率；（III）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写结果）.19（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，并且经过点.（I
6、）求椭圆的方程；（II）设过点的直线与轴交于点，与椭圆的另一个交点为，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值.20（本小题满分15分）已知函数（I）当时，求函数的单调区间；（II）当时，过点可作几条直线与曲线相切？请说明理由21（本小题满分15分）已知数列，具有性质P：对任意（）与，两数中至少有一个是该数列中的一项，为数列的前项和.（I）分别判断数列0,1,3,5与数列0,2,4,6是否具有性质P：（II）证明：；（III）证明：当时，成等差数列平谷区2020-2021学年度第二学期高三年级质量监控数学试卷2021.3第1卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共10小題，每小题4分，共
7、40分；在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1若集合，则等于（ ）A.B.C.D.解析：画数轴，选A.2设复数满足，则等于（ ）A.B.C.D.解析：，选B.3.的展开式中的系数是（ ）A.28B.56C.112D.256解析：，选C.4一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（ ）主（正）视图 左（侧）视图 俯视图A.B.C.D.解析：圆柱，底面圆的半径为1，圆柱的高为3，选B.5设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ）A.6 B.4 C.3 D.2解析：数形结合，圆的圆心，半径3，选A.6函数的图象与函数的图象的交点个数为（ ）A.0B.1C.2D.3解析
8、：数形结合，2个交点，选C.7已知函数则“是偶函数“是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：后推前，故是偶函数；前推后，举反例，时，也是偶函数.故选B.8已知分别是双曲线的两个焦点，双曲线和圆的一个交点为，且，那么双曲线的离心率为（ ）A.B.C.2D.解析：连接PO，则为等边三角形，可推出，故，选D.9.已知数列满足，且对任意，都有，那么为（ ）A.B.C.D.10解析：化简可得，则，选A.或者，交叉相乘，同除，得，故为等差数列.10某时钟的秒针端点到中心点的距离为5cm，秒针绕点匀速旋转，当时间：时，点与钟面上标12的点重合，当两点间
9、的距离为（单位：cm），则等于_A.B.C.D.解析：特值排除，当时，排除A、B；当时，排除C，选D.若正常做，圆心角，过O作AB得垂线，则.第II卷非选择题（共110分）二、填空題（本大题共5小题，每小题5分，共25分；请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11函数的定义域是_.解析：联立，解得函数的定义域为.12已知抛物线上一点到焦点的距离为3，那么点到轴的距离为_.解析：抛物线的定义，.13已知在直角三角形中，那么等于_；若是边上的高，点在内部或边界上运动，那么的最大值是_.解析：；，看在上的射影，故点P在线段BC上时，取最大值那么的最大值是0.14已知函数，在上单调递增，那么常数的一个取
10、值_.解析：，解得，又，故.取一个该范围内的值即可，如.15从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去儿年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果）根据上述信息，下列结论中正确的是2015年这一年，高铁运营里程数超过0.5万公里；2013年到2016高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率；从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年；从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增；其中所有正确结论的序号是_.解析：对于，看
11、2014年，2015年对应的纵坐标之差，小于，错误；对于，连线看斜率即可，2013年到2016两点连线斜率更大，正确；对于，看两点纵坐标之差哪组最大，正确；对于，看相邻纵坐标之差是否逐年增加，显然不是，有增有减，错误；综上，填.三、解答题（本大題共6小題，共85分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（本小题满分13分）如图，在四棱维中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，（I）求证：平面；（II）求二面角的余弦值（）证明：连接,与交于，在中，因为 ，分别为，的中点，所以 . 4分因为 平面，平面，所以 平面. 6分 () 因为ABCD是正方形，为正三角形，E是AB的中点，D
12、ABCPEzxyM所以PEAB .又因为面PAB底面ABCD，所以平面ABCD8分过作平行于与交于.以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，9分则， 10分所以，设平面的法向量为，则，,令则得11分因为PE平面ABCD，所以平面ABCD的法向量，所以 12分所以二面角的大小为 13分17（本小题满分13分）在锐角中，角的对边分別为，且（I）求角的大小；（II）再从下面条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求的面积条件.;条件：.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.解（）因为，由正弦定理. 5分所以. 7分所以. 8分（）解法一：因为 根据余弦定理得 ， 9分化简为 ，解得 1
13、1分所以 的面积 13分解法二：因为 ， 根据正弦定理得 ， 7分所以 8分因为 ， 9分所以 ， 11分所以 的面积 13分18（本小题满分14分）随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高，某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查，现从消费者人群中随机抽取500人次作为样本，得到下表（单位：人次）：满意度老年人中年人青年人酸奶鲜奶酸奶鲜奶酸奶鲜奶满意100120120100150120不满意503030505080（I）从样本中任取1个人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；（II）从该地区的老年人中抽取2人，青年人中随机选取1人，估计这三人中恰有2人对生产的
14、鲜奶质量满意的概率；（III）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写结果）.解：()设这个人恰好对生产的酸奶满意人数事件为A,总人次为500人,共抽取了100+120+150=370人次对酸奶满意,所以.5分()由频率估计总体，由已知抽取老年人满意度的概率为,抽取青年人满意度的概率为,抽取这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率，所以这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率为.11分()青年人 14分19（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，并且经过点.（I）求椭圆的方程；（II）设过点的直线与轴交于点，与椭圆的另一
15、个交点为，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值.定值问题解：（）由已知 解得 所以椭圆 ：.5分（）证明：由已知斜率存在 以下给出证明：由题意，设直线的方程为,，则. .7分由 得 ， 9分所以 ， ，. 所以即11分直线的方程为令得所以令由得所以13分所以=15分法二：设，则3分则直线的方程为5分令所以同理9分所以=. 12分因为所以所以=. 15分20（本小题满分15分）已知函数（I）当时，求函数的单调区间；（II）当时，过点可作几条直线与曲线相切？请说明理由零点问题（）因为当时,， 由,令,解得， 3分则及的情况如下：00极大值所以函数的递减区间为;递增区间为. 7分（）因为当
16、时,，所以 9分设切点为,则切线方程为:,又因为切线过, 所以 所以 ,化简得,11分令,所以,则及的情况如下：0+00+极大值极小值1所以函数的递减区间为;递增区间为,.,所以在有唯一一个零点, . 13分所以方程有唯一一个解.所以过只能作一条曲线的切线. 15分21（本小题满分15分）已知数列，具有性质P：对任意（）与，两数中至少有一个是该数列中的一项，为数列的前项和.（I）分别判断数列0,1,3,5与数列0,2,4,6是否具有性质P：（II）证明：；（III）证明：当时，成等差数列（）因为，所以数列不具有性质；因为；，六组数中，至少有一个属于，所以数列具有性质.5分（）数列具有性质，与中至少有一个属于A，故，。由A具有性质可知.， ；从而，10分（）证明：由（）知，, , ,数列是以0为首项，共差为的等差数列。 15分