1、数列的通项公式与求和的常用方法高考要求 数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用 数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和Sn可视为数列Sn的通项 通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一，与数列极限及数学归纳法有着密切的联系，是高考对数列问题考查中的热点，本点的动态函数观点解决有关问题，为其提供行之有效的方法 重难点归纳 1 数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同 因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性 2 数列an前n 项和S
2、n与通项an的关系式 an=3 求通项常用方法作新数列法 作等差数列与等比数列 累差叠加法 最基本形式是 an=(anan1+(an1+an2)+(a2a1)+a1 归纳、猜想法 4 数列前n项和常用求法重要公式1+2+n=n(n+1)12+22+n2=n(n+1)(2n+1)13+23+n3=(1+2+n)2=n2(n+1)2等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn 裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1)f(n)，然后累加时抵消中间的许多项 应掌握以下常见的裂项 错项相消法并项求和法数列通项与和的方法多种多样，要视具
3、体情形选用合适方法 典型题例示范讲解 例1已知数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的(qR且q1)的等比数列，若函数f(x)=(x1)2，且a1=f(d1)，a3=f(d+1)，b1=f(q+1)，b3=f(q1)，来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设数列cn的前n项和为Sn，对一切nN*，都有=an+1成立，求 命题意图 本题主要考查等差、等比数列的通项公式及前n项和公式、数列的极限，以及运算能力和综合分析问题的能力 知识依托 本题利用函数思想把题设条件转化为方程问题非常明显，而(2)中条件等式的左边可视为某数列前n项和，实质
4、上是该数列前n项和与数列an的关系，借助通项与前n项和的关系求解cn是该条件转化的突破口 错解分析 本题两问环环相扣，(1)问是基础，但解方程求基本量a1、b1、d、q，计算不准易出错；(2)问中对条件的正确认识和转化是关键 技巧与方法 本题(1)问运用函数思想转化为方程问题，思路较为自然，(2)问“借鸡生蛋”构造新数列dn运用和与通项的关系求出dn，丝丝入扣解 (1)a1=f(d1)=(d2)2，a3=f(d+1)=d2，a3a1=d2(d2)2=2d，d=2，an=a1+(n1)d=2(n1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q1)=(q2)2，=q2，由qR，且q1，得q=2，bn
5、=bqn1=4(2)n1(2)令=dn，则d1+d2+dn=an+1,(nN*),dn=an+1an=2,=2,即cn=2bn=8(2)n1；Sn=1(2)n 例2设An为数列an的前n项和，An= (an1)，数列bn的通项公式为bn=4n+3;(1)求数列an的通项公式；(2)把数列an与bn的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，证明 数列dn的通项公式为dn=32n+1;(3)设数列dn的第n项是数列bn中的第r项，Br为数列bn的前r项的和；Dn为数列dn的前n项和，Tn=BrDn，求 命题意图 本题考查数列的通项公式及前n项和公式及其相互关系；集合的相关概念，数列极限，以及逻辑推
6、理能力 知识依托 利用项与和的关系求an是本题的先决；(2)问中探寻an与bn的相通之处，须借助于二项式定理；而(3)问中利用求和公式求和则是最基本的知识点 错解分析 待证通项dn=32n+1与an的共同点易被忽视而寸步难行；注意不到r与n的关系，使Tn中既含有n，又含有r，会使所求的极限模糊不清 技巧与方法 (1)问中项与和的关系为常规方法，(2)问中把3拆解为41，再利用二项式定理，寻找数列通项在形式上相通之处堪称妙笔；(3)问中挖掘出n与r的关系，正确表示Br，问题便可迎刃而解 解 (1)由An=(an1)，可知An+1=(an+11)，an+1an= (an+1an)，即=3，而a1=
7、A1= (a11)，得a1=3，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，数列an的通项公式an=3n (2)32n+1=332n=3(41)2n=342n+C42n1(1)+C4(1)+(1) 2n=4n+3，32n+1bn 而数32n=(41)2n=42n+C42n1(1)+C4(1)+(1)2n=(4k+1)，32nbn，而数列an=a2n+1a2n，dn=32n+1 (3)由32n+1=4r+3，可知r=，Br=，例3设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项 (1)写出数列an的前3项 (2)求数列an的通项公式(写出推
8、证过程)(3)令bn=(nN*)，求 (b1+b2+b3+bnn) 解析 (1)由题意，当n=1时，有，S1=a1，解得a1=2 当n=2时，有，S2=a1+a2，将a1=2代入，整理得(a22)2=16，由a20，解得a2=6 当n=3时，有，S3=a1+a2+a3，将a1=2，a2=6代入，整理得(a32)2=64，由a30，解得a3=10 故该数列的前3项为2，6，10 (2）解法一 由(1）猜想数列an 有通项公式an=4n2 下面用数学归纳法证明an的通项公式是an=4n2，(nN*） 当n=1时，因为412=2，又在(1)中已求出a1=2，所以上述结论成立 假设当n=k时，结论成立
9、，即有ak=4k2，由题意，有，将ak=4k2 代入上式，解得2k=，得Sk=2k2，由题意，有，Sk+1=Sk+ak+1，将Sk=2k2代入得()2=2(ak+1+2k2)，整理得ak+124ak+1+416k2=0，由ak+10，解得ak+1=2+4k，所以ak+1=2+4k=4(k+1)2，即当n=k+1时，上述结论成立 根据，上述结论对所有的自然数nN*成立 解法二 由题意知，(nN*) 整理得，Sn=(an+2)2,由此得Sn+1=(an+1+2)2，an+1=Sn+1Sn=(an+1+2)2(an+2)2 整理得(an+1+an）(an+1an4)=0，由题意知an+1+an0，a
10、n+1an=4，即数列an为等差数列，其中a1=2，公差d=4 an=a1+(n1)d=2+4(n1)，即通项公式为an=4n2 来源:高&考%资(源#网 wxc解法三 由已知得,(nN*)，所以有，由式得，整理得Sn+12+2Sn=0，解得，由于数列an为正项数列，而，因而，即Sn是以为首项，以为公差的等差数列 所以= +(n1) =n,Sn=2n2，故an=即an=4n2(nN*) (3)令cn=bn1，则cn=学生巩固练习 1 设zn=()n，(nN*)，记Sn=z2z1+z3z2+zn+1zn，则Sn=_ 2 作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内
11、再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为_ 3 数列an满足a1=2，对于任意的nN*都有an0,且(n+1)an2+anan+1nan+12=0，又知数列bn的通项为bn=2n1+1 (1)求数列an的通项an及它的前n项和Sn；(2)求数列bn的前n项和Tn；(3)猜想Sn与Tn的大小关系，并说明理由 4 数列an中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1an,(nN*) (1)求数列an的通项公式；(2)设Sn=a1+a2+an,求Sn;(3)设bn=(nN*),Tn=b1+b2+bn(nN*),是否存在最大的整数m，使得对任意nN*均有Tn成立？若存在，求出
12、m的值；若不存在，说明理由 5 设数列an的前n项和为Sn，且Sn=(m+1)man 对任意正整数n都成立，其中m为常数，且m1 (1)求证 an是等比数列；(2)设数列an的公比q=f(m)，数列bn满足 b1=a1,bn=f(bn1)(n2,nN*) 试问当m为何值时，成立？6 已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=145 (1)求数列bn的通项bn；(2)设数列an的通项an=loga(1+)(其中a0且a1),记Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论 7 设数列an的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式 3tSn(2t+3)Sn1=
13、3t(t0,n=2,3,4) (1)求证 数列an是等比数列；(2)设数列an的公比为f(t)，作数列bn，使b1=1,bn=f()(n=2,3,4)，求数列bn的通项bn；(3)求和 b1b2b2b3+b3b4+b2n1b2nb2nb2n+1 参考答案 答案 1+2 解析 由题意所有正三角形的边长构成等比数列an，可得an=，正三角形的内切圆构成等比数列rn，可得rn=a,这些圆的周长之和c=2(r1+r2+rn)= a2，面积之和S=(n2+r22+rn2)=a2答案 周长之和a，面积之和a24 解 (1）由an+2=2an+1anan+2an+1=an+1an可知an成等差数列，d=2,
14、an=102n 来源:K来源:K5 解 (1）由已知Sn+1=(m+1)man+1，Sn=(m+1)man,由，得an+1=manman+1，即(m+1)an+1=man对任意正整数n都成立 m为常数，且m1，即为等比数列 (2)当n=1时，a1=m+1ma1，a1=1，从而b1= 由(1)知q=f(m)=，bn=f(bn1)= (nN*,且n2)，即，为等差数列 =3+(n1)=n+2，(nN*) 6 解 (1)设数列bn的公差为d，由题意得 解得b1=1, d=3,bn=3n2 (2)由bn=3n2,知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=loga(1+1)(1+)
15、(1+)，logabn+1=loga 因此要比较Sn与logabn+1的大小，可先比较(1+1)(1+)(1+)与的大小，取n=1时，有(1+1)取n=2时，有(1+1)(1+)由此推测(1+1)(1+)(1+)若式成立，则由对数函数性质可判定 当a1时，Snlogabn+1，当0a1时，Snlogabn+1，下面用数学归纳法证明式 ()当n=1时，已验证式成立 ()假设当n=k时(k1），式成立，即 那么当n=k+1时， 这就是说式当n=k+1时也成立 由(）(）可知式对任何正整数n都成立 由此证得 当a1时，Snlogabn+1；当0a1时，Snlogabn+1 7 解 (1)由S1=a1
16、=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)(2t+3)=3t a2= 又3tSn(2t+3)Sn1=3t，3tSn1(2t+3)Sn2=3t 得3tan(2t+3)an1=0 ,n=2,3,4,所以an是一个首项为1公比为的等比数列；(2)由f(t)= =,得bn=f()=+bn1 可见bn是一个首项为1，公差为的等差数列 于是bn=1+(n1)=;(3)由bn=,可知b2n1和b2n是首项分别为1和，公差均为的等差数列，于是b2n=,b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1来源:高&考%资(源#网 wxc=b2(b1b3)+b4(b3b5)+b2n(b2n1b2n+1)= (b2+b4+b2n)=n(+)= (2n2+3n) 课前后备注