1、3.4基本不等式：第1课时基本不等式内容标准学科素养1.理解基本不等式的内容及证明2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.发展逻辑推理应用数学抽象授课提示：对应学生用书第67页 基础认识知识点重要不等式与基本不等式对a，bR，a2b2与2ab的大小关系如何？对正数a，b，ab与2的大小关系如何？(1)第24届国际数学大会的会标抽象为正方形ABCD中有4个全等的直角三角形，如图直角三角形的直角边长分别为a，b.正方形的面积为_提示：a2b2.4个直角三角形的面积为_提示：2ab.其大小关系为_提示：a2b22ab.(2)对于a2b22ab的一般性
2、结论，如何证明？提示：a2b22ab(ab)20，a2b22ab.(3)如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQa，BQb，过点Q作PQ垂直于AB且交圆O于点P，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？两者间的大小关系如何？抽象出什么样的不等式？提示：POPQPOPQ. 知识梳理不等式内容等号成立条件重要不等式a2b22ab(a，bR)“ab”时取“”基本不等式(a0，b0)“ab”时取“”一般地，对于正数a，b，为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即.变形为ab2.自我检测1x2y24，则xy的最大值是()A.B1C2 D4
3、答案：C2给出下列条件：ab0；ab0；a0，b0；a0，b0.其中能使2成立的个数是()A1 B2C3 D4答案：C授课提示：对应学生用书第68页探究一用基本不等式比较大小教材P104第6题两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定，哪种购物方式比较经济？探究按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为p1，购物的数量为n，第二次购物时的价格为p2，购物的数量仍为n，按这种策略购物时两次购物的平均价格为.若按第二种策略购物，设第一次所花钱数为m，购物的数量为，第二次所花钱数仍为m
4、，购物的数量为，两次购物的平均价格为(p1p2)第二种策略较经济例1某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则()AxBxCx Dx解析第二年产量为BA(1a)，第三年的产量为CA(1a)(1b)若这两年的平均增长率为x，则第三年的产量CA(1x)2，A(1x)2A(1a)(1b)x11.故选B.答案B方法技巧基本不等式一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要擅于利用这个桥梁化和为积或者化积为和跟踪探究1.给出下列不等式若xR，则x2；若a0，b0，则lg alg b2；若a0，b0，则ab2；不等式2成立的
5、条件是x0且y0.其中正确命题的序号是_解析：只有当x0时，才能由基本不等式得到x22，故错误；当a0，b0时，lg aR，lg bR，不一定有lg a0，lg b0，故lg alg b2不一定成立，故错误；当a0，b0时，ab0，由基本不等式可得ab22，故正确；由基本不等式可知，当0，0时，有22成立，这时只需x与y同号即可，故错误答案：2已知abc，则与的大小关系是_解析：ab0，bc0，当且仅当abbc时，取“”答案：探究二利用基本不等式直接求最值教材P99例1方法步骤：已知x，y都是正数(1)若xys(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值()2.(2)若xyp(积为定值)，则当x
6、y时，和xy取得最小值2.例2(1)已知x0，y0，且xy8，则(1x)(1y)的最大值为()A16 B25C9 D36(2)若正实数x，y满足x2y2xy80，则x2y的最小值()A3 B4C. D.(3)已知函数f(x)4x(x0，a0)在x3时取得最小值，求a的值解析(1)x0，y0，xy8所以(1x)(1y)1xyxy9xy9294225，因此当且仅当xy4时，(1x)(1y)取最大值25.答案B(2)因为正实数x，y满足x2y2xy80，所以x2y280，设x2yt0，所以tt280，所以t24t320，即(t8)(t4)0，所以t4，故x2y的最小值为4.答案B(3)因为f(x)4
7、x24，当且仅当4x，即4x2a时，f(x)取得最小值又因为x3，所以a43236.延伸探究1.将本例(2)中的条件“x2y2xy80”改为“x3yxy9”，其他条件不变，求x3y的最小值解析：由已知得xy9(x3y)，即3xy273(x3y)2，当且仅当x3y，即x3，y1时取等号，令x3yt，则t0，且t212t1080，得t6，即x3y6.即x3y的最小值为6.延伸探究2.将本例(1)变为：若a，b都是正数，则的最小值为()A7 B8C9 D10解析：因为a，b都是正数，所以5529，当且仅当b2a0时取等号答案：C方法技巧利用基本不等式求最值的策略探究三利用基本不等式借助拼凑法求最值例
8、3(1)已知x0，y0，且1，则3x4y的最小值是_(2)已知x，求f(x)4x2的最大值解析(1)因为x0，y0，1，所以3x4y(3x4y)13133225(当且仅当x2y5时取等号)，所以(3x4y)min25.(2)因为x，所以4x50,54x0.f(x)4x533231.当且仅当54x时等号成立，又54x0，所以54x1，x1.所以f(x)maxf(1)1.答案(1)25(2)见解析延伸探究3.本例(2)中条件改为当x时，求函数f(x)的最大值解析：因为x，所以f(x)32.当且仅当x，即x时，等号成立，所以f(x)的最大值为32.方法技巧1通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法
9、的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提2常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题应用此种方法求解最值的基本步骤为：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式(4)利用基本不等式求解最值授课提示：对应学生用书第70页课后小结(1)(a0，b0)当
10、对正数a，b赋予不同的值时，可得以下推论：ab2(a，bR)；2(a，b同号)；a2b2c2abbcca(a，b，cR)(2)用基本不等式求最值利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，使得“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：a.“一正”各项为正数；b.“二定”“和”或“积”为定值；c.“三相等”等号一定能取到这三个条件缺一不可利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，
11、所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数yx(p0)的单调性求得函数的最值素养培优1忽视“正数”条件求函数yx的值域易错分析忽略了定义域为(，0)(0，)，而求x0的值域自我纠正当x0时，x22，当且仅当x，即x1时，等号成立，所以y2.当x0时，x22，当且仅当x，即x1时，等号成立所以y2.故函数yx的值域为(，22，)2忽视等号成立条件求函数y的最小值为_易错分析此题变形为y，只从形式上看适合基本不等式求最值，但等号成立时，无意义自我纠正y.令t，则t2，)，所以yt，t2，)易证yt在t2，)上为单调递增函数，所以y2.故ymin.答案：3忽视定值条件函数f(x)2x(53x)，x(0，)的最大值为_易错分析盲目使用基本不等式2x(53x)2，强制等号成立：2x53x.自我纠正x，2x0,53x0，f(x)2x(53x)22.当且仅当3x53x，即x时，等号成立，故所求函数的最大值为.答案：4忽视等号成立的一致性已知x0，y0，且x2y1，则的最小值为()A1B32C3 D4易错分析多次使用基本不等式，而等号成立条件不一致，x2y2，与2的两次等号成立，条件不一致自我纠正x2y1，x0，y0，(x2y)332(当且仅当，即xy时，等号成立)x1，y1.故当x1，y1时，有最小值，为32.答案：B