1、 湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高三起点考试数 学 试 卷（文科）【试卷综评】全面考查了考试说明中要求的内容，明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向,适度综合考查，提高试题的区分度.通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求.突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若全集U1,2,3,4,5,6，M，N，则集合5,6等于()AMNBMNC(UM)(UN) D(UM)(UN)【知识点】补集及其运算；并集及其运算【答案解析】D解析 ：解
2、：由题意全集观察知，集合,又故选D【思路点拨】利用直接法求解观察发现，集合恰是的补集，再由选出答案2. i为虚数单位，, 则的共轭复数为 ( )A. 2-i B. 2+i C. -2-i D. -2+i【知识点】复数代数形式的乘除运算;共轭复数.【答案解析】C解析 ：解：因为，故的共轭复数为，故选C.【思路点拨】先把原式化简，再利用共轭复数的概念即可求得结果.开始p1，n1nn1p20 ?输出n结束(第3题图)是否p=p+2n-1 3若某程序框图如图所示，则输出的n的值是 ( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【知识点】程序框图，等差数列的前n项和公式.【答案解析】C解析 ：解：框图首先
3、给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，执行n=1+1=2，p=1+（22-1）=1+3=4；判断420不成立，执行n=2+1=3，p=1+3+（23-1）=1+3+5=9；判断920不成立，执行n=3+1=4，p=1+3+5+（24-1）=1+3+5+7=16；由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，由，且nN*，得n=5故选C【思路点拨】框图首先给循环变量n赋值1，给累加变量p赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n-1，然后判断p20是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n-1，成立时算法结束，输出n的值且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n项和问
4、题当前n项和大于20时，输出n的值4已知命题 ： ( )A. B. C. D. 【知识点】命题的否定.【答案解析】D解析 ：解：根据全称命题的否定是特称命题可知：的否定为,故选D.【思路点拨】直接把语句进行否定即可.5若满足，若目标函数的最小值为2，则实数的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 8 D. 1【知识点】简单线性规划【答案解析】C解析 ：解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线与直线的交点使目标函数取得最小值，故，解得，代入得故选C【思路点拨】由目标函数的最小值为-2，我们可以画出满足条件的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m的
5、方程组，消参后即可得到m的取值【典型总结】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值6直线与圆相交于两点，则是“的面积为的 ( )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【知识点】充分、必要条件的判断.【答案解析】A解析 ：解：若，则直线与圆交于两点，所以,充分性成立；若ABO的面积为，易知，必要性不成立，故选A.【思路点拨】看两命题是否能够互相推出，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义
6、进行判断7. 若函数f(x)的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是( )Af (x)4x1Bf (x)(x1)2 Cf (x)ex1Df (x)ln(x0.5)【知识点】判断函数零点所在的区间;求函数零点的方法.【答案解析】A解析 ：解：在R上连续，且设的零点为，则，又零点为；零点为；零点为；零点为，故选A【思路点拨】先判断的零点所在的区间，再求出各个选项中函数的零点，看哪一个能满足与的零点之差的绝对值不超过0.258. 在空间直角坐标系中，已知，若，分别表示三棱锥在，坐标平面上的正投影图形的面积，则 ( )A. B. 且 C. 且 D. 且 【知识点】空间直角坐标系【答案
7、解析】B解析：解：设，则各个面上的射影分别为A，B，C，D，在xOy坐标平面上的正投影A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，0），S1=222在yOz坐标平面上的正投影A（0，0，0），B（0，2，0），C（0，2，0），D（0，1，），S2=2在zOx坐标平面上的正投影A（2，0，0），B（2，0，0），C（0，0，0），D（1，0，），S3=2，则S3=S2且S3S1，故选：B【思路点拨】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论9已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为 ( )A. B. C. D.【知识点】椭圆、双曲线的几何
8、性质.【答案解析】B解析 ：解：由已知椭圆、双曲线的几何性质得，所以，双曲线的渐近线方程为选B.【思路点拨】由已知椭圆、双曲线的几何性质可得双曲线的渐近线方程.10已知定义在实数集上的函数满足，且的导函数在上恒有，则不等式 的解集为 ( )A BC D【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质；导数的加法与减法法则【答案解析】B解析 ：解：令，为减函数，又，不等式的解集的解集，即，又为减函数，即故选B【思路点拨】构造函数，求导，从而可得的单调性，结合，可求得，然后求出不等式的解集即可二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）11. 不等式的解集为 .【知识点】绝对值的意义，绝
9、对值不等式的解法，【答案解析】解析 ：解：表示数轴上的x对应点到1和-2对应点的距离之和，而数轴上满足的点的坐标为-3和2，故不等式的解集为，故答案为【思路点拨】利用绝对值的意义，表示数轴上的x对应点到1和-2对应点的距离之和，而数轴上满足的点的坐标为-3和2，从而得出结论12. 某几何体的三视图如右图所示，根据所给尺寸（单位：cm），则该几何体的体积为 。【知识点】三视图.【答案解析】解析 ：解：根据右图的几何体的三视图我们可以画出原几何体的立体图形如下图：上部分是一个放倒的三棱柱，下部分是一个长方体.所以该几何体的体积为，故答案为.【思路点拨】根据三视图还原原几何体，再由体积公式计算即可.
10、13某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校抽取6所学校对学生进行视力调查.若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，则抽取的2所学校均为小学的概率为_【知识点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法【答案解析】解析 ：解：每个个体被抽到的概率等于，故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为21=3，14=2，7=1（2）所有的抽法共有种，其中抽取的2所学校均为小学的方法有种，故抽取的2所学校均为小学的概率等于故答案为.【思路点拨】先求出每个个体被抽到的概率，再用各个层的个体数乘以此概率，即得应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目根据所有的抽法共有
11、15种，其中抽取的2所学校均为小学的方法有3种，由此求得抽取的2所学校均为小学的概率14. 已知 ,则 【知识点】平方关系；二倍角正弦公式.【答案解析】解析 ：解：把两边平方可得，即，故答案为.【思路点拨】把原等式两边平方可得结果.15设，且，则=_ 【知识点】向量的运算；向量的坐标表示.【答案解析】解析 ：解：因为，又因为，所以，即，故；又因为，所以，即，故，则，故答案为.【思路点拨】先利用，解出的值，再进行坐标运算即可.16过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若 是线段的中点，则椭圆的离心率为 .【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题【答案解析】解析 ：解：设，则，过点作斜率为的直线与椭圆：相交
12、于A，B两点，是线段的中点，两式相减可得，【思路点拨】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出椭圆的离心率17如果对定义在上的函数，对任意两个不相等的实数，都有 ，则称函数为“函数”. 给出下列函数;. 以上函数是“函数”的所有序号为 . 【知识点】函数单调性的性质【答案解析】解析 ：解：对任意两个不相等的实数，都有 恒成立，不等式等价为恒成立，即函数是定义在R上的增函数函数在定义域上为增函数，满足条件函数在定义域上不单调不满足条件，y=3-cosx0，函数单调递增，满足条件当x0时，函数单调递增，当x0时，函数单调递减，不满足条件综上满足“H函数”的函数为，故答案为：【思路点拨】先判断
13、出满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论三、解答题：本大题共5小题，满分75分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤18.（本小题满分12分）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知() 求角C的大小;() 若c=2，求使ABC面积最大时，a, b的值.【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形面积公式.【答案解析】（1）（2）解析 ：解：（1）,由题意及正弦定理 即 从而 又 6分（2）由余弦定理 即 , (当且仅当时成立) ABC面积最大为，此时 故当时，ABC的面积最大为.【思路点拨】（1）利用诱导公式和正弦定理以及两角和的正弦公式可求得结果；（2）根据余弦定
14、理可判断出当，ABC面积最大，再求出最大值即可.19（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列满足：，且是的等差中项.() 求数列的通项公式；() 若，求使成立的正整数的最小值.【知识点】数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；数列的求和【答案解析】() () 6解析 ：解：()设等比数列的首项为，公比为依题意，有，代入，可得，解之得 或又数列单调递增， ， 数列的通项公式为 6分 () ， ，两式相减，得 即，即 从而 故正整数的最小值为6.使成立的正整数的最小值为6. 12分 【思路点拨】（I）由题意，得，由此能求出数列an的通项公式（）结合已知可得数列bn的前项和Sn=2n+1-2-n2
15、n+1，使成立的正整数n的最小值20（本小题满分13分）如图，中，两点分别是线段 的中点，现将沿折成直二面角。() 求证：； ()求直线与平面所成角的正切值.ABCDEABCDE 知识点】线面垂直的判定定理；二面角的求法.【答案解析】（1）见解析（2）解析 ：解：() 由两点分别是线段的中点，得，为二面角平面角， 。 ABCDEHO 又 7分() 连结BE交CD于H，连结AH过点D作于O。，所以为与平面所成角。中， 中，.所以直线与平面所成角的正切值为 。 13分【思路点拨】（1）先找到二面角平面角，再结合线面垂直的判定定理即可；（2）通过已知条件确定为与平面所成角，然后在三角形中解出其正切值
16、即可.21（本小题满分14分）已知为坐标原点，为函数图像上一点，记直线的斜率.() 若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围;() 当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【知识点】函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用.【答案解析】() ; () .解析 ：解：() 由题意 ，所以 当时， 当时， 在上单调递增，在上单调递减. 故在处取得极大值.在区间上存在极值 得， 即实数的取值范围是. 7分 () 由题意 得，令 , 则 ，令,则 故在上单调递增， 从而，故在上单调递增， 实数的取值范围是. . 14分【思路点拨】（）由斜率公式求出，求出导数，根据导数符号可判断的极值情
17、况，要使函数在区间上存在极值，须有极值点在该区间内，从而得不等式组，解出即可；（）由得，令，则问题转化为求函数g（x）的最小值问题，利用导数研究函数g（x）的单调性，由单调性即可求得其最小值.22（本小题满分14分）已知点（0，），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.() 求的方程；（）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【答案解析】() （）解析 ：解：() 显然是椭圆的右焦点，设 由题意 又离心率 ，故椭圆的方程为 . 5分() 由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为,方程为联立直线与椭圆方程： ，化简得： 设 ，则 坐标原点到直线的距离为令 ，则 （当且仅当 即时等号成立）故当 即 ，时的面积最大从而直线的方程为 . 14分【思路点拨】（）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得，可得c又，b2=a2-c2，即可解得a，b；()设，由题意可设直线的方程为：与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出的面积通过换元再利用基本不等式的性质即可得出