1、4.2.1 直线与圆的位置关系一、选择题1若直线xym0与圆x2y2m相切，则m的值为()A0或2 B0或4C2 D4解析：选C法一：圆x2y2m的圆心坐标为(0,0)，半径长r(m0)，由题意得，即m22m，又m0，所以m2.法二：由消去y并整理，得2x22mxm2m0.因为直线与圆相切，所以上述方程有唯一实数解，因此(2m)28(m2m)0，即m22m0，又m0，所以m2.2过点(1,1)的直线与圆(x2)2(y3)29相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A2 B4C2 D5解析：选B当圆心和点(1,1)的连线与AB垂直时，弦心距最大，|AB|最小；易知弦心距的最大值为，故|AB|的
2、最小值为24.3已知圆C：(xa)2(y2)24(a0)及直线l：xy30，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a等于()A. B2C.1 D.1解析：选C圆心C(a,2)到直线l的距离d，所以224，解得a1(舍去)，或a1.故选C.4已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为()A(x2)2(y2)21 B(x2)2(y2)21C(x2)2(y2)21 D(x2)2(y2)21解析：选B设点(x，y)与圆C1的圆心(1,1)关于直线xy10对称，则解得从而可知圆C2的圆心坐标为(2，2)，又知其半径为1，故所求圆C2的方程为(x2)2(y2)21，
3、故选B.5已知点P(a，b)(ab0)是圆x2y2r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为axbyr2，那么()Aml且l与圆相交 Bml且l与圆相切Cml且l与圆相离 Dml且l与圆相离解析：选C点P(a，b)在圆内，a2b2r2.又kOP，km.直线l的方程为axbyr2，kl，lm.设圆心到直线l的距离为d，则dr，故直线l与圆相离二、填空题6已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为_解析：设圆心为(a,0)(a0)，则2，a2，故所求方程为(x2)2y24，即x2y24x0.答案：x2y24x07已知两点A(2,0)，B
4、(0,2)，点C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC的面积最小值是_解析：直线AB的方程为xy20，圆心到直线AB的距离为d，所以，圆上的点到直线AB的最小距离为1，SABCAB(1)2(1)3.答案：38已知圆的方程为x2y24x2y40，则x2y2的最大值为_解析：方程x2y24x2y40可化为(x2)2(y1)29，它表示圆心为A(2,1)，半径为3的圆，如右图所示x2y2()2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然，连接OA并延长交圆于点B，则|OB|2即x2y2的最大值，为|OA|3|2(3)2146.答案：146三、解答题9已知圆C：x2(y1)25，直线l：mxy1m0.(1
5、)求证：对任意mR，直线l与圆C总有两个不同的交点；(2)设l与圆C交于A，B两点，若|AB|，求l的倾斜角；(3)求弦AB的中点M的轨迹方程解：(1)证明：由已知直线l：y1m(x1)，知直线l恒过定点P(1,1)1215，P点在圆C内，所以直线l与圆C总有两个不同的交点(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去y得(m21)x22m2xm250，x1，x2是一元二次方程的两个实根，|AB|x1x2|，m23，m，l的倾斜角为或.(3)设M(x，y)，C(0,1)，P(1,1)，当M与P不重合时，|CM|2|PM|2|CP|2，x2(y1)2(x1)2(y1)21.整理得轨迹方程为x2y2x2y10(x1)当M与P重合时，M(1,1)满足上式，故M的轨迹方程为x2y2x2y10.10已知O：x2y21和定点A(2,1)，由O外一点P(a，b)向O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|PA|.(1)求实数a，b间满足的等量关系；(2)求线段PQ的最小值解：(1)连接OP，Q为切点，PQOQ，由勾股定理有|PQ|2|OP|2|OQ|2.又|PQ|PA|，|PQ|2|PA|2，即a2b21(a2)2(b1)2，整理，得2ab30.(2)由2ab30得b2a3，|PQ| ，当a时，|PQ|min，即线段PQ的最小值为.