1、31.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)内 容 标 准学 科 素 养1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第 76 页基础认识知识点 两角和与差的正切公式阅读教材 P129，思考并完成以下问题怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？(1)由 sin()和 cos()，如何求 tan()?如何用 tan、tan 表示 tan()?提示：tan()sin（）cos（）sin cos cos sin cos
2、 cos sin sin.分子、分母同除以cos cos tan tan 1tan tan.(2)由 sin()和 cos()如何求 tan()？如何用 tan、tan 表示 tan()?提示：tan()sin（）cos（）sin cos cos sin cos cos sin cos tan tan 1tan tan.知识梳理 名称简记符号公式使用条件两角和的正切T()tan()tan tan 1tan tan，均不等于 k2(kZ)两角差的正切T()tan()tan tan 1tan tan，均不等于 k2(kZ)思考 T()与 T()之间有什么关系？提示：将 T()中的 换为 可得 T(
3、)自我检测1若 tan 3，tan 43，则 tan()等于()A.13 B13 C3 D3答案：A2若 tan4 2，则 tan 的值为()A.13B13C.23D23答案：A授课提示：对应学生用书第 77 页探究一 正切公式的正用与逆用教材 P129130 例 3、例 4方法步骤：正用：将某一角写成和、差型，直接展开逆用：构造公式展开特征，形成某一角的正切例 1 求下列各式的值：(1)tan 105；(2)sin 15cos 15sin 15cos 15.解析(1)tan 105tan(6045)tan 60tan 451tan 60tan 45 311 32 3.(2)sin 15cos
4、 15sin 15cos 15tan 151tan 151tan 15tan 451tan 15tan 45tan(1545)tan(30)33.方法技巧 1.直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是准确记忆公式，特别是 T 中的符号规律是“分子相同、分母相反”2对于不能直接套用公式的情况，需根据已知与未知进行变形使之联系起来，有时还要借助角的变换技巧跟踪探究 1.若 tan 13，tan()12，则 tan()A.17 B.16 C.57 D.56解析：tan tan()tan（）tan 1tan（）tan 12131121317.答案：A2.1 3tan 753tan 75
5、 _解析：tan 60 3，原式1tan 60tan 75tan 60tan 75 1tan 60tan 751tan 60tan 751tan（6075）1.答案：1探究二 正切公式的变形应用教材 P146A 组 4(2)题求 tan 20tan 40 3tan 20tan 40的值解析：tan 60 tan 20tan 401tan 20tan 40 3，tan 20tan 40 3 3tan 20tan 40，tan 20tan 40 3tan 20tan 40 3.例 2(1)求值：tan 23tan 37 3tan 23tan 37_(2)(1tan 21)(1tan 22)(1ta
6、n 23)(1tan 24)解析(1)法一：tan 23tan 37 3tan 23tan 37tan(2337)(1tan 23tan 37)3tan 23tan 37tan 60(1tan 23tan 37)3tan 23tan 37 3.法二：tan(2337)tan 23tan 371tan 23tan 37，3 tan 23tan 371tan 23tan 37.3 3tan 23tan 37tan 23tan 37.tan 23tan 37 3tan 23tan 37 3.(2)(1tan 21)(1tan 24)1tan 21tan 24tan 21tan 241tan(2124
7、)(1tan 21tan 24)tan 21tan 241(1tan 21tan 24)tan 45tan 21tan 2411tan 21tan 24tan 21tan 242.同理可得(1tan 22)(1tan 23)2，原式224.方法技巧 两角和的正切公式的常用变形形式(1)tan tan tan()(1tan tan)(2)1tan tan tan tan tan（）.(3)tan tan tan tan tan()tan()(4)tan tan 1 tan tan tan（）.跟踪探究 3.若锐角，满足(1 3tan)(1 3tan)4，求.解析：(1 3tan)(1 3tan)
8、1 3(tan tan)3tan tan 4，tan tan 3(1tan tan)tan()tan tan 1tan tan 3.又，均为锐角，0180.60.4求值：(1tan 1)(1tan 2)(1tan 44)解析：(1tan 1)(1tan 44)2，(1tan 1)(1tan 2)(1tan 44)(1tan 1)(1tan 44)(1tan 2)(1tan 43)(1tan 22)(1tan 23)222.授课提示：对应学生用书第 77 页课后小结1公式 T()的结构特征和符号规律(1)公式 T()的右侧为分式形式，其中分子为 tan 与 tan 的和或差，分母为 1 与tan
9、 tan 的差或和(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”2应用公式 T()时要注意的问题(1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，(或)的终边不能落在 y 轴上，即不为 k2(kZ)(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如 tan41，tan6 33，tan33等特别要注意 tan4 1tan 1tan，tan4 1tan 1tan.(3)公式的变形应用只要用到 tan tan，tan tan 时，有灵活应用公式 T()的意识，就不难想到解题思路特别提醒：tan tan，tan tan，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型素养培优1忽略角的范围导致增解(1)首
10、先根据角的三角函数值和给定的角的范围，求角的另一三角函数值，然后再求值(2)当涉及和、差角时，一定要准确求出和、差的范围典例 已知 sin 55，且 为锐角，tan 3，且 为钝角，则 的值为()A.4 B.34 C.3 D.23易错分析 忽略 锐角条件，求 cos 时出现两值忽略 的范围致错自我纠正 解析 sin 55，且 为锐角，则 cos 2 55，tan 12，所以 tan()tan tan 1tan tan 123112（3）1.又因为 2，32，所以 34.答案 B2使用 T()时或变形公式时，其特征致错(1)记准公式的结构和符号规律(2)将“tan tan”、“tan()”和“tan tan”看成一个整体，知其中两个可求第三个典例 化简：tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 10_易错分析(1)不会变形找不到特征(2)特征用错自我纠正 解析 tan 30tan(2010)tan 20tan 101tan 20tan 10，13 tan 20tan 101tan 20tan 10，3tan 20tan 101tan 20tan 10，原式tan 10tan 20 3(tan 20tan 10)1.答案 1