1、3.排列、组合与二项式定理一、单项选择题1.(2022江苏苏锡常镇一模)在的展开式中,第二项的系数为()A.4B.-4C.6D.-62.(2022山东临沂三模)在的展开式中,各二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为()A.-32B.-1C.1D.323.(2022山东菏泽一模)(a-x)(2+x)6的展开式中含x5的项的系数是12,则实数a的值为()A.4B.5C.6D.74.(2022山东济南三模)“回文联”是对联中的一种,既可顺读,也可倒读.比如,一副描绘厦门鼓浪屿景色的回文联:雾锁山头山锁雾,天连水尾水连天.据此可定义“回文数”,n为自然数,且n的各位数字反向排列所得自然数n与n
2、相等,这样的n称为“回文数”,如:1221,2413142.则所有五位数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有()A.648个B.720个C.810个D.891个5.(2022山东枣庄三模)在(x2-2x+y)6的展开式中,含x5y2的项的系数为()A.-480B.480C.-240D.2406.(2022新高考5)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式有()A.12种B.24种C.36种D.48种7.(2022山东淄博一模)若(1-x)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a8(1+x)8,则a6=()A.-448B.-112C.112
3、D.4488.(2022山东临沂三模)志愿服务是全员核酸检测工作的重要基础和保障,某核酸检测站点需要连续六天有志愿者参加服务,每天只需要一名志愿者,现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者,计划依次安排到该站点参加服务,要求甲不安排第一天,乙和丙在相邻两天参加服务,则不同的安排方案共有()A.72种B.81种C.144种D.192种二、多项选择题9.(2022山东济南一模)在的展开式中,下列结论中正确的是()A.展开式共6项B.常数项为64C.所有项的系数之和为729D.所有项的二项式系数之和为6410.(2022重庆实验中学模拟)有6本不同的书,按下列方式进行分配,则下列选项中分配种数正确的是(
4、)A.分给甲、乙、丙三人,每人各2本,有15种分法B.分给甲、乙、丙三人,其中一人4本,另两人各1本,有90种分法C.分给甲、乙每人各2本,分给丙、丁每人各1本,有90种分法D.分给甲、乙、丙、丁四人,有两人各2本,另两人各1本,有1 080种分法11.(2022江苏连云港模拟)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周,则()A.某学生从中选3门,共有30种选法B.课程“射”“御”排在不相邻两周,共有240种排法C.课程“礼”“乐”“数”排在相邻三周,共有144种排法D.课程“乐”不排在第一周,课程“
5、御”不排在最后一周,共有504种排法12.(2022广东韶关模拟)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列,在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书中就有出现.在“杨辉三角”中,除每行两边的数都是1外,其余每个数都是其“肩上”的两个数之和,例如第4行的6为第3行中两个3的和,则下列说法正确的是()A.在“杨辉三角”第9行中,从左到右第7个数是84B.在“杨辉三角”中,当n=12时,从第1行起,每一行的第2列的数字之和为66C.在“杨辉三角”中,第n行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字D.记“杨辉三角”第n行的第i个数为ai,则2i-1ai=2n三、填空题13.(
6、2022重庆三模)写出一个正整数n,使得的展开式中存在常数项,则n可以是.(写出一个即可)14.(2022河北石家庄模拟)22 022除以7的余数为.15.(2022浙江12)已知多项式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=,a1+a2+a3+a4+a5=.16.(2022河南郑州三模)党的十九大报告提出“乡村振兴战略”,要“推动城乡义务教育一体化发展,高度重视农村义务教育”.为了响应报告精神,某师范大学6名毕业生主动申请到某山区的乡村小学工作,若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学,且每所学校至少分配1人,则分配方案的总数为.3.排列、组合
7、与二项式定理1.B解析 的展开式的第二项为T2=T1+1=x4-1=-x2=-4x2,所以第二项的系数为-4.2.B解析 二项式系数的和是32,2n=32,则n=5.令x=1,则展开式中各项系数的和为(-1)5=-1.3.C解析 利用二项式定理展开得(a-x)(2+x)6=(a-x)(26+25x+24x2+23x3+22x4+2x5+x6),则x5的系数为a2-22=12,解得a=6.4.D解析 根据“回文数”的特点,只需确定前3位即可,最高位即万位有9种情况,千位和百位各有10种情况,根据分步乘法计数原理,共有91010=900个“回文数”,其中各位数字相同的“回文数”共有9个,则所有5位
8、数中是“回文数”且各位数字不全相同的共有900-9=891个.5.A解析 (x2-2x+y)6看成是6个(x2-2x+y)相乘,要得到x5y2,则在6个因式中,2个因式取y,1个因式取x2,3个因式取-2x,此时x5y2的系数(-2)3=-480.6.B解析 把丙、丁看成一个元素,则(丙、丁)、乙、戊的排列共有=12种不同的排法.又由于甲不站在两端,利用“插空法”可得甲只有种不同的排法.由分步乘法计数原理可得,不同的排列方式共有12=24种.故选B.7.C解析 (1-x)8=(x-1)8=(1+x)-28=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a8(1+x)8,a6=(-2)2=112.8.
9、D解析 若乙和丙在相邻两天参加服务,则不同的安排方案共有=240种,若乙和丙在相邻两天参加服务且甲安排在第一天参加服务,则不同的安排方案共有=48种,故满足条件的安排方案共有240-48=192种.9.CD解析 的展开式的总项数是7,故A不正确;的展开式的常数项为x6-3=160,故B不正确;取x=1,得的展开式的所有项的系数之和为36=729,故C正确;由二项式系数的性质,得的展开式中所有项的二项式系数之和为26=64,故D正确.10.BD解析 对于A,6本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人各2本,共有=156=90种分法,故A错误;对于B,6本不同的书分给甲、乙、丙三人,其中一人4本,另两人
10、各1本,共有=156=90种分法,故B正确;对于C,6本不同的书分给甲、乙每人各2本,丙、丁每人各1本,共有=180种分法,故C错误;对于D,6本不同的书,分给甲、乙、丙、丁四人,有两人各2本,另两人各1本,共有=4524=1 080种分法,故D正确.11.CD解析 对于A,某学生从中选3门,共有=20种选法,故A错误;对于B,课程“射”“御”排在不相邻两周,先排好其他的4门课程,有5个空位可选,在其中任选2个,安排“射”“御”,共有=480种排法,故B错误;对于C,课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,将“礼”“书”“数”看成一个整体,与其他3门课程全排列,共有=144种排法,故C正确;对于D
11、,课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,分2种情况讨论,若课程“乐”排在最后一周,有种排法,若课程“乐”不排在最后一周,有种排法,所以共有=504种排法,故D正确.12.AC解析 对于A,在杨辉三角中,第9行第7个数是=84,故A正确;对于B,当n=12时,从第1行起,每一行的第2列数字之和S=1+2+12=78,故B错误;对于C,用数学符号语言可表示为()2+()2+()2=,证明如下:(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n=(x+x2+xn)(xn+xn-1+xn-2+),对应相乘,恰好得到含xn的项的系数为()2+()2+()2,而是(1+x)2n的展开式中第n+1项的二项
12、式系数(即含xn的项的系数),故()2+()2+()2+()2=,故C正确;对于D,第n行的第i个数为ai=,所以2i-1ai=20a1+21a2+22a3+2nan+1=20+21+22+2n=(1+2)n=3n,故D错误.13.5(答案不唯一)解析 根据的展开式的通项为Tk+1=)k=,则5k-4n=0有解,故可取n=5,k=4.14.1解析 22 022=(23)674=8674=(7+1)674,其中(7+1)674=(1+7)674=70+71+72+7674=1+71+72+7674=1+7(71+7673),所以22 022除以7的余数为1.15.8-2解析 (x-1)4展开式的通项为Tk+1=x4-k(-1)k,故a2=1(-1)3+2(-1)2=8.令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,令x=0,得a0=2,所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.16.540解析 第一步将6名毕业生分成3组,且每组至少1人,一共有3种分配方案,即1,1,4或1,2,3或2,2,2,其中1,1,4的分配方式有=15种,1,2,3的分配方式有=60种,2,2,2的分配方式有=15种;第二步将分好的3组毕业生分配到3所乡村小学,其分法有=6种.利用分步乘法计数原理可知,分配方案的总数为(15+60+15)6=540.