1、32函数的基本性质32.1单调性与最大(小)值(1)内容标准学科素养1.利用函数图象，直观地观察函数的单调性直观想象数学抽象逻辑推理2.利用特殊函数，理解函数单调性及几何意义3.会根据函数的单调性定义，判断、证明单调性.授课提示：对应学生用书第37页教材提炼知识点函数的单调递增、单调递减对于函数f(x)x2，如何用符号语言描述？ 知识梳理(1)定义域为I的函数f(x)的增减性(2)特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(increasing function)特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(decreasing function)
2、如果函数yf(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间自主检测1如图所示的函数中在其定义域上是增函数的个数是()A0B1C2 D4解析：只有是增函数答案：B2对于函数yf(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1x2，使f(x1)f(x2)成立，则yf(x)()A一定是增函数 B一定是减函数C可能是常数函数 D单调性不能确定解析：根据函数单调性概念可知，yf(x)的单调性不确定答案：D3下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()Ay3x Byx21Cy Dy|x|答案：B4函数y|x1|的增区间为_答案：1，
3、)授课提示：对应学生用书第37页探究一由函数图象求函数的单调区间例1作出函数yx22|x|3的图象并指出它的单调区间解析根据绝对值的意义，yx22|x|3.作出函数图象如图所示，根据图象可知，函数在区间(，1，0,1上是增函数；函数在区间(1,0)，(1，)上是减函数一般来说，求函数单调区间可以根据函数的图象在某区间内，由左至右图象是上升的，该区间就是函数的单调增区间；某区间内，由左到右图象是下降的，该区间就是函数的单调减区间将本例函数改为f(x)|x22x3|，求f(x)的单调区间解析：令g(x)x22x3(x1)24.先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻
4、到x轴上方就得到f(x)|x22x3|的图象，如图所示由图象易得：函数的递增区间是3，1，1，)；函数的递减区间是(，3，1,1探究二函数单调性的证明或判断例2教材P79例3拓展探究根据定义证明yx在(0,1)上是单调递减证明x1，x2(0,1)，且x1x2，有y1y2(x1x2)(x1x2)(x1x21)由于0x11,0x21.0x1x21.x1x210.又由x1x2，x1x20，(x1x21)0，y1y2，函数yx在(0,1)上是减函数证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图象法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：探究三利用单调性求参数例3已知函数f(
5、x)ax2x1在(，2)上单调递减，求a的取值范围解析当a0时，f(x)x1在(，2)上单调递减，符合题意；当a0时，要使f(x)在(，2)上单调递减，则解得0a.综上，a的取值范围为.根据函数的单调性求参数取值范围的方法(1)利用单调性的定义：设单调区间内x1x2，由f(x1)f(x2)0(或f(x1)f(x2)0)恒成立求参数范围(2)利用具体函数本身所具有的特征：如二次函数单调区间被对称轴一分为二，根据对称轴相对于所给单调区间的位置求参数需注意：若一函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的若函数f(x)在R上为增函数，则实数b的取值范围是_解析：要使此分段函数为
6、R上的增函数，必须使函数g(x)(2b1)xb1在(0，)上是增函数；函数h(x)x2(2b)x在(，0上是增函数，且满足h(0)g(0)，根据一次函数和二次函数的单调性可得1b2，即实数b的取值范围是1,2授课提示：对应学生用书第38页一、单调性定义的拓展及规律1.0(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)是增函数2.0(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)是减函数3f(x)在区间A上是单调函数，则k0时，kf(x)的单调性不变；k0时，则相反4f(x)，g(x)在区间A上同单调，则f(x)g(x)的单调性不变5若f(x)在区间A上是单调函数，则的单调性相反，(f(x)0)、(nN*)
7、的单调性相同6图象关于轴(与x轴垂直)对称的函数在它们的对称区间上的单调性相反，图象关于中心对称的函数在它们的对称区间上的单调性相同典例1.判定函数yx22x的单调性，并求单调区间解析定义域为x1，函数y1x22x，y2均为增函数，则yx22x也为增函数，则yx22x的增区间为1，)2定义在R上的函数f(x)，对任意的x1，x2R，(x1x2)有0，若ab0，则有()Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)Cf(a)f(b)f(a)f(b)Df(a)f(b)f(a)f(b)解析由题意知，f(x)在R上为减函数由题意知，ab，ba，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)，故选D.答案D二、对“单调区间”和“在区间上单调”两个概念理解错误而致误典例若函数f(x)x22(a1)x2的单调递减区间是(，4，求实数a的取值范围解析函数f(x)的图象的对称轴为直线x1a.因为函数的单调递减区间是(，4，所以1a4，解得a3.故实数a的取值范围是3纠错心得单调区间是一个整体概念，例如函数的单调减区间是I，指的是函数递减的最大范围是区间I，而函数在某一区间上的单调，则指此区间是相应单调区间的子区间