1、指数函数及其性质的应用（习题课）A级基础巩固1函数f(x)是()A偶函数，在(0，)是增函数B奇函数，在(0，)是增函数C偶函数，在(0，)是减函数D奇函数，在(0，)是减函数解析：选B因为f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数，又因为y2x是增函数，y2x为减函数，故f(x)为增函数故选B.2(多选)设函数f(x)a|x|(a0，且a1)，若f(2)4，则()Af(2)f(1) Bf(1)f(2)Cf(2)f(2) Df(4)f(3)解析：选AD由f(2)a24得a，即f(x)2|x|，故f(2)f(1)，f(2)f(2)，f(4)f(4)f(3)，所以A、D正确3(2021金陵中学阶段检测
2、)定义区间x1，x2(x1x2)的长度为x2x1.已知函数y2|x|的定义域为a，b，值域为1，2，则区间a，b的长度的最大值与最小值的差为( )A. B1C. D2解析：选B如图是函数y2|x|值域为1，2上的图象使函数y2|x|的值域为1，2的区间长度最小的区间为1，0，0，1，区间长度最大的区间为1，1，从而由定义可知区间a，b的长度的最大值与最小值的差为211.4(2019全国卷)函数y在6，6的图象大致为()解析：选B yf(x)，x6，6， f(x)f(x)， f(x)是奇函数，排除选项C.当x4时，y7.97(7，8)，排除选项A、D.故选B.5若关于x的不等式a2xa3x(0a
3、1)的解集为A，则函数y3x1，xA的最大值为()A1 B3C6 D9解析：选D0a0有解，那么01，解得a，即a.答案：8(2021济南高一质量考试)已知函数f(x)2x，g(x)2x，xR，对于xR，用m(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为m(x)minf(x)，g(x)(1)函数m(x)的最大值为_；(2)对于xt，t1，tR不等式m(x1)m(x)2恒成立，则t的取值范围为_解析：m(x)min2x，2x故m(x)在(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减，所以函数m(x)的最大值为m(0)1；又因为m(x)所以m(x)2m(2x)，不等式m(x1)m(x)2等价于m(x1)m
4、(2x)，易知函数m(x)是偶函数，所以m(x1)m(2x)又等价于m(|x1|)|2x|，两边平方解得x1在xt，t1，tR上恒成立，故解得tf(1)，求x的取值范围解：(1)设f(x)ax(a0，且a1)将点代入得a2.解得a.故f(x).(2)由(1)知f(x)，显然f(x)在R上是减函数，又f(|x|)f(1)，所以|x|1，解得1x0，且a1)的图象过点(0，2)，(2，0)(1)求a与b的值；(2)求x2，4时，f(x)的最大值与最小值解：(1)点(0，2)，(2，0)在函数f(x)axb(a0，且a1)的图象上，又a不符合题意，(2)由(1)可得f(x)()x3.1，y()x在其
5、定义域上是增函数，f(x)()x3在区间2，4上单调递增f(x)在区间2，4上的最小值为f(2)，最大值为f(4)6.B级综合运用11设f(x)|3x1|，cbf(a)f(b)，则下列关系式中一定成立的是()A3c3b B3c3bC3c3a2 D3c3a2解析：选D作出函数f(x)|3x1|的图象如图所示由cbf(a)f(b)可知c，b，a不在同一个单调区间上c0.f(c)13c，f(a)3a1.f(c)f(a)，13c3a1，3c3a0，设函数f(x)(xa，a)的最大值为M，最小值为N，那么MN()A2 025 B2 022C2 020 D2 019解析：选Bf(x)2 019，f(x)2
6、 0192 019.因此f(x)f(x)4 0382 0164 0382 0162 022.又f(x)在a，a上是增函数，MNf(a)f(a)2 022，故选B.13(2021南通市第一中学月考)已知函数f(x)ax(a0，且a1)在1，1上恒有f(x)1时，f(x)在1，1上是增函数，因为函数f(x)在1，1上恒有f(x)2，所以f(1)2，所以a2，所以1a2.当0a1时，f(x)在1，1上是减函数因为函数f(x)在1，1上恒有f(x)2，所以f(1)2，所以，所以a1.综上所述，实数a的取值范围是(1，2)答案：(1，2)14(2021如皋市高一质检)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数
7、(1)判断并证明函数f(x)的单调性，并利用结论解不等式：f(x22x)f(3x2)0；(2)是否存在实数k，使得函数f(x)在区间m，n上的取值范围是？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由解：(1)f(x)是R上的增函数，证明如下：设任意x1，x2R且x1x2，f(x1)f(x2)，x1x2，4x10，4x210，f(x1)f(x2)，f(x)是在(，)上是单调增函数f(x22x)f(3x2)0，又f(x)是定义在R上的奇函数且在(，)上单调递增，f(x22x)f(23x)，x22x23x，2x0，即方程t2(1k)tk0有两个不等的正根，于是有(1k)0且k0且(1k)24(
8、k)0，解得32k0.存在实数k，使得函数f(x)在m，n上的取值范围是，并且实数k的取值范围是.C级拓展探究15定义：对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x满足f(x)f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”若f(x)2xm是定义在区间1，1上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围解：法一：f(x)2xm，f(x)f(x)可化为2x2x2m0，因为f(x)的定义域为1，1，所以方程2x2x2m0在1，1内有解，令t2x，则t，故2mt，设g(t)t，则在(0，1上单调递减，在1，)上单调递增，所以当t时，g(t)，即2m，所以m.法二：当f(x)2xm时，f(x)f(x)可化为2x2x2m0，令t2x，则t，故关于t的二次方程t22mt10在上有解即可保证f(x)为“局部奇函数”，设f(t)t22mt1.当方程t22mt10在上只有一个解或有两个相同的解时，需满足或ff(2)0，解得m1或m，当m时，方程在区间上有两个解，不符合，故m1.当方程t22mt10在上有两个不相等实根时，需满足故m1，综上，m.
