1、函数的奇偶性A级基础巩固1若函数f(x)(f(x)0)为奇函数，则必有()Af(x)f(x)0Bf(x)f(x)0Cf(x)f(x)解析：选B函数f(x)(f(x)0)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)20可得3x3，所以x4f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf(3)f(2)f()Df(3)f()f(2)解析：选Af(x)是R上的偶函数，f(2)f(2)，f()f()，又f(x)在0，)上单调递增，且23f(3)f(2)，即f()f(3)f(2)5(多选)如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为具有奇偶性的函数的是()Ayxf(x) B
2、yxf(x)Cyx2f(x) Dyx2f(x)解析：选ABDf(x)是奇函数，f(x)f(x)令yg(x)对于A，g(x)xf(x)xf(x)g(x)，yxf(x)是奇函数对于B，g(x)xf(x)xf(x)g(x)，yxf(x)是偶函数对于C，g(x)(x)2f(x)x2f(x)，由于g(x)g(x)，g(x)g(x)，yx2f(x)既不是奇函数也不是偶函数对于D，g(x)(x)2f(x)x2f(x)g(x)，yx2f(x)是奇函数6已知函数f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)_解析：当x0时，x0，f(x)x1，又f(x)为偶函数，f(x)x1.答案：x17已知f(x)ax2bx3ab是
3、偶函数，定义域为a1，2a，则ab_，单调递减区间是_解析：根据题意，f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1，2a，则有(a1)2a0，解得a，又f(x)ax2bx3ab为二次函数，其对称轴为x，若f(x)为偶函数，则必有x0，则b0；所以f(x)1，其单调递减区间为(，0答案：(，08若f(x)(m1)x26mx2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(2)从小到大的排列是_解析：f(x)是偶函数，f(x)f(x)恒成立，即(m1)x26mx2(m1)x26mx2恒成立，m0，即f(x)x22.f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在0，)上单调递减，f(2)f(1)f(0)，又f(x)
4、x22为偶函数，f(2)f(2)即f(2)f(1)f(0)答案：f(2)f(1)f(0)9已知定义在(1，1)上的函数f(x).(1)试判断f(x)的奇偶性及在(1，1)上的单调性；(2)解不等式f(t1)f(2t)0.解：(1)因为f(x)，所以f(x)f(x)故f(x)为奇函数任取x1，x2(1，1)且x10，1x1x20且分母x10，x10，所以f(x2)f(x1)，故f(x)在(1，1)上为增函数(2)因为定义在(1，1)上的奇函数f(x)是增函数，由f(t1)f(2t)0，得f(t1)f(2t)f(2t)所以有即解得0t.故不等式f(t1)f(2t)0的解集为.10(2021海门中学
5、高一质检)已知函数f(x)是定义在(1，1)上的奇函数， 且f.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明函数f(x)在区间(1，1)上是增函数；(3)解不等式f(t1)f(t)0.解：(1)函数f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，则f(0)0，即有b0，且f，则，解得a1，则函数f(x)的解析式为f(x)(1x1)(2)证明：设1mn1，则f(m)f(n)，由于1mn1，则mn0，mn0，(1m2)(1n2)0，则有f(m)f(n)0，则f(x)在(1，1)上是增函数(3)由于奇函数f(x)在(1，1)上是增函数，则不等式f(t1)f(t)0即为f(t1)f(t)f(t)，即有解得则
6、有0t0的解集为(1，1)解析：选ABf(1)f(1)0，A正确；x0时，f(x)xx2，f(x)的最大值为，B正确；f(x)在上是减函数，C错误；f(x)0的解集为(1，0)(0，1)，D错误12设f(x)为偶函数，且在区间(，0)内是增函数，f(2)0，则xf(x)0的解集为()A(1，0)(2，) B(，2)(0，2)C(2，0)(2，) D(2，0)(0，2)解析：选C根据题意，偶函数f(x)在(，0)上为增函数，且f(2)0，则函数f(x)在(0，)上为减函数，且f(2)f(2)0，又由xf(x)0，可得或即2x2，即不等式的解集为(2，0)(2，)故选C.13函数f(x)在(，)单
7、调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是_解析：f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)单调递减，1x21，1x3.答案：x|1x314已知函数f(x)x2mx(m0)在区间0，2上的最小值为g(m)(1)求函数g(m)的解析式；(2)定义在(，0)(0，)上的函数h(x)为偶函数，且当x0时，h(x)g(x)若h(t)h(4)，求实数t的取值范围解：(1)因为f(x)x2mx(m0)，所以当02，02，即m4时，函数f(x)在区间0，2上单调递减，所以g(m)f(2)42m
8、.综上可知，g(m)(2)因为当x0时，h(x)g(x)，所以当x0时，h(x)易知函数h(x)在(0，)上单调递减，因为定义在(，0)(0，)上的函数h(x)为偶函数，且h(t)h(4)，所以0|t|4，解得4t0或0t4.综上所述，实数t的取值范围为(4，0)(0，4)C级拓展探究15已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)，h(x).(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性；(2)试判断g(x)，h(x)与f(x)的关系；(3)由此你能猜想出什么样的结论？解：(1)g(x)g(x)，h(x)h(x)，g(x)是偶函数，h(x)是奇函数(2)g(x)h(x)f(x)(3)如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和