1、第八章8.58.5.3 A组素养自测一、选择题1正方体ABCDA1B1C1D1中，截面BA1C1与直线AC的位置关系是(A)AAC截面BA1C1BAC与截面BA1C1相交CAC在截面BA1C1内D以上答案都错误解析ACA1C1，又AC面BA1C1，AC面BA1C12下列结论正确的是(C)一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行.ABCD解析如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个平面平
2、行，也即是两个平面没有任何公共直线.对于：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在.对于：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，同.对于：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行.这是两个平面平行的定义.对于：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行.这是两个平面平行的判定定理.所以只有正确，选择C3已知直线l、m，平面、，下列结论正确的是(D)Al，lBl，m，l，mClm，l，mDl，m，l，m，lmM解析如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，直线ABCD，则直
3、线AB平面DC1，直线AB平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF平面AC，B1C1平面AC.又EF平面BC1，B1C1平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误；直线ADB1C1，AD平面AC，B1C1平面BC1，但平面AC与平面BC1不平行，所以选项C错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定理，所以选项D正确.4如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是(B)A异面B平行C相交D以上均有可能解析A1B1AB，AB平面ABC，A1B1平面ABC，A1B1
4、平面ABC.又A1B1平面A1B1ED，平面A1B1ED平面ABCDE，DEA1B1又ABA1B1，DEAB.5如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面平面ABC，分别交线段PA，PB，PC于A，B，C，若PAAA23，则ABC与ABC面积的比为(D)A25B38C49D425解析平面平面ABC，平面PABAB，平面PAB平面ABCAB，ABAB.又PAAA23，ABABPAPA25同理BCBCACAC25ABC与ABC相似，SABCSABC425二、填空题6已知平面和，在平面内任取一条直线a，在内总存在直线ba，则与的位置关系是_平行_(填“平行”或“相交”).解析假若l，则在平面内，
5、与l相交的直线a，设alA，对于内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即内不存在直线ba.故.7如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则_.解析平面MNE平面ACB1，由面面平行的性质定理可得ENB1C，EMB1A，又E为BB1的中点，M，N分别为BA，BC的中点，MNAC，即.8如图，a，A是的另一侧的点，B、C、Da，线段AB、AC、AD分别交平面于E、F、G，若BD4，CF4，AF5，则EG_.解析a，平面ABDEG，aEG，即BDEG，则EG.三、解答题9如图所示，四棱锥PABCD
6、的底面ABCD为矩形，E、F、H分别为AB、CD、PD的中点.求证：平面AFH平面PCE.解析因为F为CD的中点，H为PD的中点，所以FHPC，所以FH平面PCE.又AECF且AECF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AFCE，所以AF平面PCE.由FH平面AFH，AF平面AFH，FHAFF，所以平面AFH平面PCE.10如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ平面PAO?解析当Q为CC1的中点时，平面D1BQ平面PAO.Q为CC1的中点，P为DD1的中点，QBPA.而QB平面PAO，P
7、A平面PAO，QB平面PAO.连接DB，P、O分别为DD1，DB的中点，PO为DBD1的中位线，D1BPO.而D1B平面PAO，PO平面PAO，D1B平面PAO.又D1BQBB，平面D1BQ平面PAO.B组素养提升一、选择题1a、b、c为三条不重合的直线，、为三个不重合平面，现给出六个结论.ac，bcab；a，bab；c，c；，；c，aca；a，a.其中正确的结论是(C)ABCD解析平行公理.两直线同时平行于一平面，这两条直线可相交、平行或异面.两平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行.面面平行传递性.一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面或平行或直线在平面内.一直线和一平面同时
8、平行于另一平面，这条直线和平面可平行也可能直线在平面内.故正确.2在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为(B)ABCD解析取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MNBC1，MC1BN，所以梯形的高为，所以梯形的面积为(2).3已知正方体ABCDABCD，点E，F，G，H分别是棱AD，BB，BC，DD的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面ABD平行的条数是(D)A0B2C4D6解析连接EG，EH，EF，FG，GH，EHFG且EHFG，四边形EFGH为平行四边形，E
9、，F，G，H四点共面.由EGAB，EHAD，EGEHE，ABADA，EG平面EFGH，EH平面EFGH，AB平面ABD，AD平面ABD，可得平面EFGH平面ABD.故平面EFGH内的每条直线都符合条件.故选D4(多选题)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F且EF1，则当E，F移动时，下列结论正确的是(ACD)AAE平面C1BDB四面体ACEF的体积不为定值C三棱锥ABEF的体积为定值D四面体ACDF的体积为定值解析对于A，如图1，AB1DC1，易证AB1平面C1BD，同理AD1平面C1BD，且AB1AD1A，所以平面AB1D1平面C1BD，又AE平面A
10、B1D1，所以AE平面C1BD，A正确；对于B，如图2，SAEFEFh11，点C到平面AEF的距离为点C到平面AB1D1的距离d为定值，所以VACEFVCAEFdd为定值，所以B错误；对于C，如图3，SBEF13，点A到平面BEF的距离为A到平面BB1D1D的距离d为定值，所以VABEFdd为定值，C正确；对于D，如图4，四面体ACDF的体积为VACDFVFACD333为定值，D正确.故选ACD二、填空题5如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E、F、G、H分别为PA、PD、PC、PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：平面EFGH平面ABCD；BC平面PAD；AB平面PC
11、D；平面PAD平面PAB.其中正确的有_.(填序号)解析把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EHAB，所以EH平面ABCD.同理可证EF平面ABCD，所以平面EFGH平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交.ABCD，AB平面PCD.同理平面BCPAD.6如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足_点M在FH上_时，有MN平面B1BDD1解析FHBB1，HNBD，FHHNH，平面FHN平面B1BDD1，又平面FHN平面
12、EFGHFH，当MFH时，MN平面FHN，MN平面B1BDD1三、解答题7如图所示，P为ABCD所在平面外一点，点M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD平面PBCl.(1)求证：BCl；(2)MN与平面PAD是否平行？证明你的结论.解析(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以BCAD.又因为AD平面PAD，BC平面PAD，所以BC平面PAD.又因为平面PBC平面PADl，BC平面PBC，所以BCl.(2)MN平面PAD.证明如下：如图所示，取PD的中点E，连接NE、AE，所以NECD，NECD.而CDAB，M为AB的中点，所以NEAM，NEAM，所以四边形MNEA是平行四边形，所以MNAE.又AE平面PAD，MN平面PAD，所以MN平面PAD.8如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，ADBC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：ECA1D.解析因为BEAA1，AA1平面AA1D，BE平面AA1D，所以BE平面AA1D.因为BCAD，AD平面AA1D，BC平面AA1D，所以BC平面AA1D.又BEBCB，BE平面BCE，BC平面BCE，所以平面BCE平面AA1D.又平面A1DCE平面BCEEC，平面A1DCE平面AA1DA1D，所以ECA1D.