1、限时练2(时间:45分钟,满分:80分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2022北京人大附中模拟)设集合A=,B=x|x2或x5,则(RA)B=()A.x|-2x0,b0,且a+b=2,则下列说法正确的为()A.ab的最小值为1B.log2a+log2b0C.2a+2b4D.2+11.(2022福建福州三模)已知抛物线y2=2px(p0)的准线为直线l,点M在抛物线上,以M为圆心的圆与l相切于点N,点A(5,0)与抛物线的焦点F不重合,且|MN|=|MA|,NMA=120,则()A.圆M的半径是4B.圆M与直线y=-1相
2、切C.抛物线上的点P到点A的距离的最小值为4D.抛物线上的点P到点A,F的距离之和的最小值为412. (2022河北廊坊模拟)如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=4,E为BC的中点,将BAE沿AE向上翻折到PAE的位置,连接PC,PD,在翻折的过程中,以下结论正确的是()A.四棱锥P-AECD体积的最大值为2B.PD的中点F的轨迹长度为C.EP,CD与平面PAD所成的角相等D.三棱锥P-AED的外接球的表面积有最小值16三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2022河北张家口三模)函数f(x)=ex+1ln(1-x)在点(0,f(0)处的切线方程为.14.北京时间202
3、2年4月16日09时56分,神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆,将在太空“出差”半年的翟志刚、王亚平、叶光富送回到阔别已久的祖国大地.神舟十三号载人飞行任务的圆满成功,标志着空间站关键技术验证阶段任务圆满完成,中国空间站即将进入建造阶段.某机构研究室通过随机抽样的调查方式,对18岁及以上人群进行了“你是否曾有过航天梦想”的调查研究,得到如下的统计结果:“曾有过航天梦想”的人的年龄分布图“曾有过航天梦想”的人在航天相关方面的人均消费(元)根据调查结果,以下说法正确的是.在“曾有过航天梦想”的人群中,54岁及以上的人数最少在“曾有过航天梦想”的人群中,年龄越大,在航天相关方面的人均消费越
4、少在“曾有过航天梦想”的人群中,1829岁在航天相关方面的总消费最多15.(2022浙江16)已知双曲线=1(a0,b0)的左焦点为F,过F且斜率为的直线交双曲线于点A(x1,y1),交双曲线的渐近线于点B(x2,y2)且x100,即(x-4)(x+2)0,解得x4,故A=x|x4,则RA=x|-2x4,则(RA)B=x|-2x2.2.B解析 设z=b,bR,则b(1+i)2=(1-ai)2,即2bi=1-a2-2ai,所以解得a=1,所以z为实数的一个充分条件可以是a=1.3.B解析 由题意,将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度可得函数y=sin 2=sin的图象,则平移后的函数图
5、象的对称轴方程为2x+=2k+(kZ),即x=+k(kZ),取k=0可得,x=,所以直线x=为平移后的函数图象的一条对称轴.4. C解析 设=a,=b,以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD,则=b-a,由题意ADB=30,设ABD=(0150),|a|=3,在ABD中,由正弦定理可得,AD=6sin 6,即|b|的最大值为6.5.B解析 第一类,有一个地方去3个专家,剩下的2个专家各去一个地方,共有321=60种分派方法;第二类,有一个地方去1个专家,另两个地方各去2个专家,共有321=90种分派方法.所以分派方法的种数为60+90=150.6. C解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中
6、,因为ADBC,所以直线BD1与直线AD所成的角=D1BC.因为BC平面CDD1C1,D1C平面CDD1C1,所以BCD1C,所以直线BD1与平面CDD1C1所成的角=BD1C.所以D1BC+BD1C=,即+=.7.A解析 kx-y-2k+2=0(kR),即k(x-2)-y+2=0,则直线kx-y-2k+2=0(kR)恒过定点A(2,2).圆C上的动点P到直线kx-y-2k+2=0(kR)的距离的最大值为4,圆心C到直线kx-y-2k+2=0(kR)的距离的最大值为4=3.又圆心C在直线x+y+2=0上,可设C(a,-a-2).当直线CA垂直直线kx-y-2k+2=0(kR)时,圆心C到直线k
7、x-y-2k+2=0(kR)的距离最大,=3,解得a=-1,故圆心C(-1,-1),圆C的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=2.8.B解析 g(x)的定义域为(-,-1)(-1,0).令t=f(x)+2,当x-1时,f(x)=x+(-,-2)且单调递增,此时t(-,0),当-1x0时,f(x)=x+(-,-2)且单调递减,此时t(-,0),当0x时,f(x)=ln x(-2,+)且单调递增,此时t(0,+),所以g(x)的零点等价于f(t)的图象与直线y=-2交点的横坐标t对应的x值,如图所示:由图知f(t)的图象与直线y=-2有两个交点,交点的横坐标t1=-1,0t21.当t1=-1,即
8、f(x)=-3时,f(x)在(-,-1),(-1,0),上各有一个解;当0t21,即-2f(x)0,b0,所以由基本不等式可得a+b2,当且仅当a=b时,等号成立,又a+b=2,所以ab1,当且仅当a=b=1时,等号成立,故ab的最大值为1,故A错误;log2a+log2b=log2ab0,当且仅当a=b=1时,等号成立,故B正确;2a+2b2=2=4,当且仅当a=b=1时,等号成立,故C正确;(a+b)=3+(3+2),当且仅当a=2-2,b=4-2时,等号成立,故D错误.11.AC解析 由抛物线的定义,得|MN|=|MF|,F,准线l:x=-.以M为圆心的圆与l相切于点N,所以MNl,即M
9、Nx轴.又NMA=120,所以MAF=60.因为|MN|=|MF|=|MA|,所以MAF是等边三角形,即|MN|=|MF|=|MA|=|AF|.由抛物线的对称性可令点M(xM,yM)在第一象限,取AF的中点G,连接MG.因为A(5,0),所以|MN|=5-,则|OG|=|MN|-,即=5-,解得p=2,则抛物线的标准方程为y2=4x,则|OG|=3.对于A,|MN|=5-1=4,故A正确;对于B,xM=|OG|=3,所以yM=2,易得圆M与直线y=-1不相切,故B错误;对于C,设抛物线上的点P,则|AP|=,化简得|AP|=4,当且仅当t2=12时,等号成立,故C正确;对于D,过点P作准线l:
10、x=-1的垂线交l于点P,由抛物线的定义,知|PP|=|PF|,则|PA|+|PF|=|PP|+|PA|PA|,当且仅当A,F,P三点共线时,等号成立,所以|PA|+|PF|的最小值为6,故D错误.故选AC.12. ACD解析 对于A,易知梯形AECD的面积为6,AE=2,直角三角形APE斜边AE上的高为,当平面APE平面AECD时,四棱锥P-AECD的体积取得最大值6=2,故A正确;对于B,取PA的中点G,连接GF,GE,FC,则GF,EC平行且相等,四边形ECFG是平行四边形,所以点F的轨迹与点G的轨迹形状完全相同,过点G作AE的垂线,垂足为H,G的轨迹是以H为圆心,HG=为半径的半圆弧,
11、从而PD的中点F的轨迹长度为,故B错误;对于C,由四边形ECFG是平行四边形,知ECFG,则EC平面PAD,则E,C到平面PAD的距离相等,故PE,CD与平面PAD所成角的正弦值之比为CDPE=11,故C正确;对于D,APE的外接圆O1的半径为,O1为AE的中点,直角三角形ADE的外接圆O2的半径为2,O2为AD的中点,AE是圆O1与圆O2的公共弦,|O1O2|=,设三棱锥P-AED的外接球的球心为O,半径为R,则R=,因为|O2O|0,+),所以R2,所以球O的表面积的最小值为16,故D正确.13.ex+y=0解析 f(0)=0,所以切点为(0,0).f(x)=ex+1ln(1-x)+ex+
12、1,f(0)=-e,即切线的斜率为-e.故该切线方程为y=-ex,即ex+y=0.14.解析 对于,从“曾有过航天梦想”的人的年龄分布图可知,在“曾有过航天梦想”的人群中,54岁及以上的人数最少,故正确;对于,在“曾有过航天梦想”的人群中,3940岁的人在航天相关方面的人均消费最多,故错误;对于,设总人数为n,1829岁“曾有过航天梦想”的人在航天相关方面的总消费大于0.39700n=273n元,3040岁“曾有过航天梦想”的人在航天相关方面的总消费小于0.33800n=264n元,4153岁“曾有过航天梦想”的人在航天相关方面的总消费约为0.20650n=130n元,54岁及以上“曾有过航天
13、梦想”的人在航天相关方面的总消费约为0.08200n=16n元,所以在“曾有过航天梦想”的人群中,1829岁在航天相关方面的总消费最多,故正确.15.解析 由=3,得x2=3x1+2c,由解得x2=,则x1=-c.由得16x2-(x+c)2=16a2.将x1代入上式得,(5x1+c)(3x1-c)=16a2,所以-c+c-c-c=16a2,整理得,故e=.16.,nN*解析 P2表示第2次挑战成功的概率,则可能为第一次挑战成功,第二次挑战成功,或第一次挑战失败,第二次挑战成功,所以P2=.设第n-1次挑战成功的概率为Pn-1(n2),则Pn=Pn-1+(1-Pn-1)=-Pn-1+(n2),所以Pn-=-Pn-1-.又P1-,所以是以为首项,-为公比的等比数列,所以Pn-,则Pn=,nN*.