1、安徽省太和第一中学2020-2021学年高二数学12月月考试题 理（奥赛班）满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ，B，C，D，2阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）A5B11C14D193某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩
2、的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（ ）A5B6C7D84设、是异面直线，给出下列命题：经过直线有且仅有一个平面平行于直线；经过直线有且仅有一个平面垂直于直线；存在分别经过直线和直线的两个平行平面；存在分别经过直线和直线的两个互相垂直的平面其中错误的命题为（ ）A与B与C与D仅5设点在直线上，若，且恒成立，则的值ABCD6的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A-40B-20C20D407已知直线：与直线：相交于点P，线段是圆C：的一条动弦，且，点D是线段的中点.则的最大值为（ ）A BC D8设,且013,若能被13整除,则( )A0B1C11D129.高一某班有
3、5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（ ）A15种B90种C120种D180种10美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（ ）种A96B120C180D21611、是正三角形的边、的中点，沿把正三角形折成60的二面角（如图），则的正切值为（ ）A B CD以上答案均不对12已知，则( )AB0C14D二、 填空题：本题共4小
4、题，每小题5分，共20分13.直线l过点，且被两平行直线和所截得的线段长为9，则直线l的一般式方程是_.14将，五个字母排成一排，若与相邻，且与不相邻，则不同的排法共有_种.15一个五位数满足,且,(如3720145412),则称这个五位数符合“正弦规律”,那么,共有_个五位数符合“正弦规律”.16已知长方体的棱，点，分别为棱，上的动点.若四面体的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是_.（写出所有正确命题的编号）存在点，使得；不存在点，使得；当点为中点时，满足条件的点有3个；当点为中点时，满足条件的点有3个；四面体四个面所在平面，有4对相互垂直.三、解答题：本题共6题，共70分(17题10
5、分，18-22均为12分)。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。17某湿地公园经过近十年的规划和治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的300个地块，并设计两种抽样方案，方案一：在该地区应用简单随机抽样的方法抽取30个作为样本区；依据抽样数据计算得到相应的相关系数；方案二：在该地区应用分层抽样的方法抽取30个作为样本区，调查得到样本数据（，2，30），其中和分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数
6、乘以地块数）；（2）求方案二抽取的样本（，2，30）的相关系数（精确到0.01）；并判定哪种抽样方法更能准确的估计.附：相关系数，；相关系数，则相关性很强，的值越大，相关性越强.18由于受疫情的影响，某国某市的一个小区505人参加某次核酸检测，根据年龄段使用分层抽样的方法从中随机抽取101人，记录其核酸检测结果(阴性或阳性).现将核酸检测呈阴性的人员，按年龄段分为5组：(0，20，(20，40，(40，60，(60，80，(80，100，得到如图所示频率分布直方图，其中年龄在(20，40的有20人.（1）估计核酸检测呈阴性人员的年龄的中位数；（2）用样本估计该小区此次核酸检测呈阳性的人数；（3
7、）若此次核酸检测呈阳性的人中，男女比例为3：2，从中任选两人，求至少选到一名男性的概率19如图，球的截面把垂直于它的直径分为两部分，截面圆的面积为，是截面圆的直径，是圆上不同于、的一点，是球的一条直径 （1）求三棱椎的体积最大值；（2）当分弧的两部分弧与弧的弧长之比为时，求二面角的正切值20在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线l与圆Q相交于不同的两点A，B，记AB的中点为E（）若AB的长等于，求直线l的方程；（）是否存在常数k，使得OEPQ？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由21在多面体中，平面平面（1）证明：；（2）求
8、直线与平面所成角的正弦值22已知圆：()，定点，其中为正实数.（1）当时，判断直线与圆的位置关系；（2）当时，若对于圆上任意一点均有成立(为坐标原点)，求实数的值；（3）当时，对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求实数的取值范围 太和一中20202021第一学期高二年级调研数学试卷（奥赛班）参考答案1.试题分析：由题意知，样本容量为，其中高中生人数为，高中生的近视人数为，故选B.2.首先初始化数据：，成立，执行不成立；成立，执行不成立；不成立，执行不成立；成立，执行成立；则程序跳出循环，输出.本题选择C选项.3【答案】B【解析】试题分析：甲组学生成绩的平均数是，
9、乙组学生成绩的中位数是89，所以，选B.4.【答案】D【分析】根据空间平行关系、垂直关系的判定定理与性质定理判断即可.【详解】对于，选一条直线与平行，且与相交，则由公理的推论可知，通过与有且仅有一个平面，此时，故正确；对于，若与不垂直，则直线不可能垂直于直线所在的平面，故错；对于，取平面与平面，且使，若，且与不平行，则异面，故正确；对于，若、异面，则存在一条直线，使得，设由、所确定的平面为，则一定可以过直线作一个平面，使得，故正确.故选：D.5【答案】C【解析】由题意得当，所以直线过定点，当，所以直线过定点恒成立，又，,的斜率为直线的方程为，即；直线的方程为，即选C6【答案】D【解析】令x=1
10、得a=1.故原式=的通项，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出；若第1个括号提出，从余下的括号中选2个提出，选3个提出x.故常数项=-40+80=407D【分析】根据条件可先判断出并结合直线过定点确定出的轨迹方程，再根据条件计算出的长度，结合图示说明何时有最大值并计算出最大值.【详解】由题意得圆C的圆心为，半径，易知直线：恒过点，直线：恒过，且，的轨迹是以为直径的圆，点P的轨迹方程为，圆心为，半径为，若点
11、D为弦的中点，位置关系如图：连接，由，易知.，此时三点共线且在线段上，故选：D.8.【答案】D【分析】由于，按二项式定理展开，根据题意可得能被13整除，再由，确定出的值即可.【详解】除最后两项外，其余各项都有13的倍数52，故由题意可得能被13整除， ，故选D9.【答案】B【分析】根据题意，5名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把5名同学分成3组，每组人数为2，2，1人，再将3组分配的3个服务小组即可.【详解】解：根据题意，5名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把5名同学分成3组，每组人数为2，2，1人，共有种，再将三组分配到3个服务小组，共有种，故选：B.10.【
12、答案】D【分析】根据题意，先将5人分成4组，减去甲乙在一起的1组，然后4组再安排到4个不同的部门可得答案.【详解】由故选：D.11.【答案】B【分析】取的中点，连接，交于点，连接，根据题意及正三角形的特点易证二面角的平面角为，且，然后设正三角形的边长为，根据几何条件设法求出，计算的值.【详解】如图所示，取的中点，连接，交于点，连接，.因为三角形为正三角形，则，又点、是的边、的中点，则，所以，可证得平面，则，所以.所以二面角的平面角为，而，所以为等边三角形.设等边三角形的边长为，则，所以.故选：B.12.【答案】B【分析】由题可知，将转化为，再根据二项式展开式的性质，即可求出和，便可得出.【详解
13、】解：由题知，且，则，所以.故选：B.【答案】3613.【答案】或【分析】先验证斜率不存在时符合题意，斜率存在时再设直线方程，联立直线求交点，根据交点距离列关系求得斜率，即得方程.【详解】当直线l斜率不存在时，方程为，与两直线交点分别是，距离为9，符合题意；当直线l斜率存在时，方程可设为，直线l与直线联立，得交点，直线l与直线联立，得交点，故两点间的距离为，化简得，即直线方程为，即，综上，直线l方程为或.故答案为：或.14【分析】可利用分步乘法计数原理，先排，再将捆绑，看作一个元素，插入三个空位之一，这时、产生四个空位，最后将插入与不相邻的三个空位之一即可.【详解】依题意，可分三步，先排，有种
14、方法，产生3个空位，将捆绑有种方法，将捆绑看作一个元素，插入三个空位之一，有种方法，这时、产生四个空位，最后将插入与不相邻的三个空位之一，有种方法，根据分步乘法计数原理得：共有种，故答案为：36.15【答案】2892【分析】将情况分为五个数中没有数相同；五个数中有两个数相同；五个数中有三个数相同三种情况，分别计算得到答案.【详解】根据意义知，五位数中，最大，最小.当五个数中没有数相同时：选五个数，最大数赋值给，最小数赋值给，剩余三个全排列，共有个；当五个数中有两个数相同时：选四个数，最大数赋值给，最小数赋值给，剩余两个数赋值给，共有个；当五个数中有三个数相同时：选三个数，最大数赋值给，最小数赋
15、值给，剩余的一个数赋值给，共有个；故共有故答案为：16.【答案】【分析】在长方体中，根据线面位置关系，逐个分析即可得解.【详解】因为四面体的四个面都是直角三角形，所以为直角或为直角，（若为直角，则为直角必为锐角三角形）若为直角时，因为平面，则推得平面因此平面平面，平面平面，平面平面，即仅有三对平面相互垂直，同理，为直角时亦然，故错误，对，在四面体中，有平面 ， 所以根据三垂线定理及其逆定理得，故存在，正确；对，若，又因为，则有平面，就有，此时分别和重合，则不是直角三角形，不符题意，故不存在，正确；对，为中点时，若为直角，则满足条件的F只有一个，若为直角，因为，即满足条件的F不存在，即错；对，根
16、据题意，若为直角， 因为,即满足条件的有2个，若当为直角时有一解，故有1个，故正确；故答案为：三17.（1）由题意可得，样区野生动物平均数为，又地块数为300，所以该地区这种野生动物的估计值为；（2）由题中数据可得，样本（，2，30）的相关系数为.因为方案一的相关系数为明显小于方案二的相关系数为，所以方案二的分层抽样方法更能准确的估计.18.(1)由频率直方图可知，因，所以所求中位数在,不妨设中位数为x，则,得.所以核酸检测呈阴性人员年龄的中位数为50；(2)因样本中核酸检测呈阴性的人员中年龄在有20人，设样本中核酸检测呈阴性的人数为n,则，即，用样本估计总体，所以该小区此次核酸检测呈阳性的人
17、数为,即该小区此次核酸检测呈阳性的人数为5；（3）由（2）可知，此次核酸检测呈阳性的人数为5，又因其男女比例为3：2，所以其中男性为3人，女性为2人，将其3名男性分别记为1，2，3，2名女性记为a,b，从中任选两人的基本事件有（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，3），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（a，b），共10种，其中至少有一名男性的基本事件有（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，3），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），共9种.所以至少选到一名男性的概率.19.解：（1）是中点，为中点，又平面，平面，设球半径为，则，设，则，
18、当时，三棱椎的体积的最大值为，又，（2）弧与弧的弧长之比为，由平面知，平面平面，作于，则平面，再作于，连，又，所以平面，得，是二面角的平面角，在中，由三角形相似求得，二面角的正切值为20.（）圆Q的方程可写成（x-6）2+y2=4，所以圆心为Q（6，0）设过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2|AB|=，圆心Q到直线l的距离d=，=，即22k2+15k+2=0，解得k=-或k=-所以，满足题意的直线l方程为y=-+2或y=-x+2（）将直线l的方程y=x+2代入圆方程得x2+（kx+2）2-12x+32=0整理得（1+k2）x2+4（k-3）x+36=0直线与圆交于两个不同的点A，B
19、等价于=4（k-3）2-436（1+k2）=42（-8k2-6k）0，解得-k0，即k的取值范围为（-，0）设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点E（x0，y0）满足x0=-，y0=kx0+2=kPQ=-，kOE=-，要使OEPQ，必须使kOE=kPQ=-，解得k=-，但是k（-，0），故没有符合题意的常数k21.解：（1）连接，在中，则，所以，即，又因为平面平面，平面平面，且，所以平面，因为平面，所以，由，且，平面，所以有平面，因为平面，所以，又因为，所以（2）过点作交的延长线于，连接，由，可得：，平面平面，面面，面，又平面，由（1）可知，即，由（1）可知，平面，所以，即，可知，
20、由等体积：，所以，则，解得，设直线与平面所成角为，则22.解: (1) 当时,圆心为,半径为, 当时,直线方程为, 所以,圆心到直线距离为, 因为,所以,直线与圆相离. （2）设点，则，由得， ，代入得， ，化简得，因为为圆上任意一点，所以，又，解得，(3)法一:直线的方程为，设()，因为点是线段的中点，所以，又都在圆：上，所以即因为该关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，所以， 又为线段上的任意一点，所以对所有成立而 在上的值域为，所以所以又线段与圆无公共点，所以，.故实数的取值范围为 法二:过圆心作直线的垂线，垂足为，设，则则消去得， ， 直线方程为 点到直线的距离为 且又 为线段上的任意一点， ， 故实数的取值范围为
