1、第一部分专题五第3课时(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)1(2013山东卷)椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2.若k0，试证明为定值，并求出这个定值解析：(1)由于c2a2b2，将xc代入椭圆方程1，得y.由题意知1，即a2b2.又e，所以a2，b1.所以椭圆C的方程为y21.(2)设P(x0，y0)(y00)，又F1(，0)，F2(，0)，知
2、，直线l的方程为yy0k(xx0)联立得整理得(14k2)x28(ky0k2x0)x4(y2kx0y0k2x1)0.由题意0，即(4x)k22x0y0k1y0.又y1，所以16yk28x0y0kx0，故k.所以8，因此为定值，这个定值为8.2已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A，B两点，且|AF|BF|2，|AB|的最小值为2.(1)求椭圆E的方程；(2)若圆x2y2的切线L与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，OP(O为坐标原点)与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由解析：(1)设A(x0，y0)，则B(x0，y0)
3、，F(c,0)(c2a2b2)|AF|BF|2a2，a.又|AB|2 2 ，0xa2，|AB|min2b2，b1，椭圆E的方程为y21.(2)由题设条件可知直线L的斜率存在，设直线L的方程为ykxm.直线L与圆x2y2相切，m2(k21)将ykxm代入y21中得，(12k2)x24kmx2m220，8(2k21m2)0.令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2，则x1x2，x1x2，y1y2k2x1x2km(x1x2)m2.x1x2y1y20，即OP与OQ垂直3设点P是圆x2y24上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P0，且.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设直线l：ykxm(
4、m0)与(1)中的轨迹C交于不同的两点A，B.若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求实数m的取值范围解析：(1)设点M(x，y)，P(x0，y0)，则由题意知P0(x0,0)由(x0x，y)，(0，y0)，且，得(x0x，y)(0，y0)于是又xy4，x2y24.点M的轨迹C的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)联立得(34k2)x28mkx4(m23)0.(8mk)216(34k2)(m23)0，即34k2m20.(*)且依题意，k2，即k2.x1x2k2k2x1x2km(x1x2)m2.km(x1x2)m20，即kmm20.m0，k10，解得k2.将k2代入(*)，得m
5、26.m的取值范围是(，0)(0，)4(2013大连市双基测试)设A，B分别是直线yx和yx上的动点，且|AB|，设O为坐标原点，动点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)过点(，0)作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1，l2与点P的轨迹的相交弦分别为CD，EF，设CD，EF的弦中点分别为M，N，求证：直线MN恒过一个定点解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，xx1x2，yy1y2，y1x1，y2x2，xx1x2(y1y2)，yy1y2(x1x2)|AB|，x22y22，点P的轨迹方程为y21.(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l1的方程为xky.由，得(k24) y22ky10，y1y2，x1x2.M点坐标为，同理可得N点坐标为.直线MN的斜率kMN.直线MN的方程为y.整理化简得4k4y(45x)k312k2y16y(20x16)k0，x，y0，直线MN恒过定点.