1、2导数的概念及其几何意义A组1.如果过函数y=f(x)图像上点A(3,a)的切线与直线2x+y+1=0平行,则f(3)=()A.2B.-12C.-2D.12解析:因为过点A(3,a)的切线与2x+y+1=0平行,所以过点A的切线斜率f(3)=-2.答案:C2.已知曲线y=2ax2+1过点(a,3),则在该点处的切线方程是()A.y=-4x-1B.y=4x-1C.y=4x-11D.y=-4x+7解析:由3=2a(a)2+1,得a=1或a=-1(舍去).又f(1)=limx02a(1+x)2+1-(2a12+1)x=limx0(4+2x)=4,在点(1,3)处的切线方程为y-3=4(x-1),y=
2、4x-1.答案:B3.已知曲线y=x3上过点(2,8)的切线方程为12x-ay-16=0,则a=()A.-1B.1C.-2D.2解析:k=limx0(2+x)3-23x=limx012+6x+(x)2=12,过点(2,8)的切线方程为y-8=12(x-2),即y=12x-16,a=1.答案:B4.如果曲线y=x3+x-10的一条切线与直线y=4x+3平行,则该切点的坐标为()A.(1,-8)B.(-1,-12)C.(1,-8)或(-1,-12)D.(1,-12)或(-1,-8)解析:设切点坐标为P(x0,y0),则y0=x03+x0-10.则切线斜率为k=limx0(x0+x)3+(x0+x)
3、-10-(x03+x0-10)x=limx0(3x02+1)+3x0x+(x)2=3x02+1=4,x0=1.当x0=1时,y0=-8;当x0=-1时,y0=-12,即切点为(1,-8)或(-1,-12).答案:C5.已知函数y=f(x)的图像在点M(1,f(1)处的切线方程为y=12x+2,则f(1)+f(1)=.解析:f(1)=121+2=52,f(1)=12,f(1)+f(1)=52+12=3.答案:36.已知f(x)在x=6处可导,且f(6)=8,f(6)=3,则limx6f(x)2-f(6)2x-6=.解析:f(6)=3,limx6f(x)-f(6)x-6=3.limx6f(x)2-
4、f(6)2x-6=limx6f(x)-f(6)f(x)+f(6)x-6=f(6)+f(6)f(6)=(8+8)3=48.答案:487.给出以下命题:已知函数y=f(x)的图像上的点列P1,P2,P3,Pn,当n时,PnP0,则过P0与Pn两点的直线的斜率就是函数在点P0处的导数;若物体的运动规律是s=f(t),则物体在时刻t0的瞬时速度v等于f(t0);函数y=x3的导函数值恒为非负数.其中正确的命题是.解析:对于命题,由函数在点P0处的导数的几何意义知,函数y=f(x)在P0处的导数是过点P0曲线(即函数y=f(x)的图像)的切线的斜率,而不是割线P0Pn的斜率,故命题是一个假命题.对于命题
5、,由于它完全符合瞬时速度的定义,故命题是一个真命题.对于命题,易知y=3x20,故为真命题.答案:8.求抛物线y=2x2过点(2,1)的切线方程.解:设切点为(x0,y0),切线的斜率为k.则y0=2x02,且k=limx02(x0+x)2-2x02x=4x0.又k=y0-1x0-2=4x0,由解得x0=2+142,y0=15+414,或x0=2-142,y0=15-414.k=4x0=8+214或k=4x0=8-214.切线方程为y-1=(8+214)(x-2)或y-1=(8-214)(x-2).即(8+214)x-y-15-414=0或(8-214)x-y-15+414=0.9.已知直线l
6、1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1l2,求直线l2的方程.解:f(1)=limx0(1+x)2+(1+x)-2-(12+1-2)x=3,即l1的斜率为k1=3,直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点P(x0,x02+x0-2),f(x0)=limx0(x0+x)2+(x0+x)-2-(x02+x0-2)x=limx0(2x0+x+1)=2x0+1,则直线l2的斜率为k2=f(x0)=2x0+1.又l1l2,k1k2=-1,即3(2x0+1)=-1,x0=-23,y0=-232-23-2=-209.切
7、点为-23,-209,斜率k2=-13,直线l2的方程为y+209=-13x+23,即3x+9y+22=0.B组1.设函数f(x)可导,则limx0f(1+x)-f(1)3x等于()A.f(1)B.3f(1)C.13f(1)D.f(3)解析:原式=13limx0f(1+x)-f(1)x=13f(1).答案:C2.在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种是即时价格曲线y=f(x),一种是平均价格曲线y=g(x)(如f(2)=3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元;g(2)=4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元).下面所有给出的四个图像中,实线表示y=f(x),虚线表示y=g(
8、x),其中可能正确的是()解析:由题意可知,即时价格曲线和平均价格在t=0时刻应该是相等的,故排除A;选项B中在刚开始时,即时价格为平行于x轴的直线,故平均价格曲线也应和即时价格曲线重合,故排除B;选项D从t=0时刻到即时价格y=f(x)与y=g(x)相等时,平均价格不能总在即时价格的下方,故选C.答案:C3.若函数f(x)在x=a处的导数为m,求limx0f(a+2x)-f(a-2x)x的值.解:limx0f(a+x)-f(a)x=m,limx0f(a+2x)-f(a-2x)x=limx0f(a+2x)-f(a)+f(a)-f(a-2x)x=limx0f(a+2x)-f(a)x+limx0f
9、(a)-f(a-2x)x=2limx0f(a+2x)-f(a)2x+2limx0f(a-2x)-f(a)-2x=2m+2m=4m.4.直线l:y=x+a(a0)和曲线C:y=x3-x2+1相切.(1)求a的值;(2)求切点的坐标.解:(1)设直线l与曲线C的切点为(x0,y0).因为y=limx0(x+x)3-(x+x)2+1-(x3-x2+1)x=3x2-2x,则3x02-2x0=1.解得x0=1或x0=-13.当x0=1时,y0=x03-x02+1=1.又(x0,y0)在直线y=x+a上,将x0=1,y0=1代入得a=0,与已知矛盾,舍去.当x0=-13时,y0=-133-132+1=23
10、27,则切点坐标为-13,2327.将切点坐标-13,2327代入y=x+a,得a=3227.(2)由(1)知切点坐标为-13,2327.5.设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中xR,a,b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l,求a,b的值,并写出切线l的方程.解:f(x)=limx0(x+x)3+2a(x+x)2+b(x+x)+a-(x3+2ax2+bx+a)x=limx03x2x+3x(x)2+(x)3+4axx+2a(x)2+bxx=3x2+4ax+b,g(x)=limx0(x+x)2-3(x+x)+2-(x2-3x
11、+2)x=limx02xx+(x)2-3xx=2x-3,由于曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l,故有f(2)=g(2)=0,f(2)=g(2)=1,即23+2a4+b2+a=0,322+8a+b=1,解得a=-2,b=5.切线l的方程为x-y-2=0.6.已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l.(1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程;(2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于点P的直线方程y=g(x).解:y=f(x+x)-f(x)=(x+x)3-3(x+x)-x3+3x=3x2x+3x(x)2+(x)3-3
12、x.limx0yx=3x2-3.f(x)=3x2-3.过点P且以P(1,-2)为切点的直线的斜率为k1=f(1)=0,所求直线方程为y=-2.(2)设切点坐标为(x0,x03-3x0),则直线l的斜率k2=f(x0)=3x02-3,直线l的方程为y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0).又直线l过点P(1,-2),-2-(x03-3x0)=(3x02-3)(1-x0),2x03-3x02+1=0.即(2x03-2x02)-(x02-1)=0,即(x0-1)(2x02-x0-1)=0,解得x0=1(舍去)或x0=-12.故所求直线斜率k=3x02-3=-94,于是y-(-2)=-94(x-1),即y=-94x+14.