1、第2课时基本不等式的应用学 习 目 标核 心 素 养1.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点) 2会用基本不等式求解实际应用题(难点)1.通过基本不等式求最值，提升数学运算素养2借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？(2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？问题：实例中两个问题的实质是什么？如何求解？提示：这两个都是求最值问题第一个问题是矩形周长一定，即长x与宽y的和一定，求xy的最大值，xy252625，即鸡舍为正方形，长与宽各为25米时鸡舍面
2、积最大第二个问题是矩形面积一定，求矩形长x与宽y之和最小问题，xy22200，当且仅当xy100时，即当农场为正方形，边长为100米时，所用篱笆最省已知x，y都是正数，(1)若xyS(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值.(2)若xyp(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值2.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值()(2)若a0，b0且ab4，则ab4.()(3)当x1时，函数yx2，所以函数y的最小值是2.()提示(1)由ab2可知正确(2)由ab4可知正确(3)不是常数，故
3、错误答案(1)(2)(3)2已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A.B4C. D5Cab2，1.2.故y的最小值为.3若x0，则x的最小值是_2x22，当且仅当x时，等号成立4.的最大值为_55.利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x1，求yx的最小值；(2)已知0x，求yx(12x)的最大值思路点拨(1)看到求yx的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求yx(12x)的最值，需要出现和为定值解(1)x1，x10，yx(x1)121213.当且仅当x1，即(x1)21，x2(x0舍去)时“”成立故当x2时，yx的最小值为3.(2)0x0，y2x(12x).当且仅当2x12x，即x时
4、，yx(12x)的最大值为.利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.1(1)已知x0，求y的最小值；(2)已知0x0)的最小值为9.(2)法一：0x0.yx(13x)3x(13x).当且仅当3x13x，即x时，等号成立当x时，y取得最大值.法二：0x0.yx(13x)3x3，当且仅当xx，即x时，等号成立当x时，y取得最大值.利用基本不等式求条件最值【例2】已知x0，y0，且满足1.求x2y的最小值解x0，y0，1，x2y(x2y)1010218，当且仅当即
5、时，等号成立，故当x12，y3时，x2y的最小值为18.若把“1”改为“x2y1”，其他条件不变，求的最小值解x，yR，(x2y)821010218.当且仅当时取等号，结合x2y1，得x，y，当x，y时，取到最小值18.1本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形2常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项常见形式有f(x)ax型和f(x)ax(bax)型2已知a0，b0，a2b1，求的最小值解法一：1(a2b)1233232，当且仅当即时等号成立的最小值为32.法二：12332，当且仅当即时，
6、等号成立，的最小值为32.利用基本不等式解决实际问题【例3】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？解设每间虎笼长x m，宽y m，则由条件知，4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼面积为S，则Sxy.法一：由于2x3y22，所以218，得xy，即Smax，当且仅当2x3y时，等号成立由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大法二：由2x3y18，得x9y.x0，0y6，Sxyyy(6y)0y0.S2.当且仅当6yy，即y3时，等号成立，此时
7、x4.5.故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案3某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平
8、均购地费用)解设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为.每平方米的平均综合费用y56048x56048.当x取最小值时，y有最小值x0，x230.当且仅当x，即x15时，上式等号成立当x15时，y有最小值2 000元因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少.1掌握1种方法利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到这三个条件缺一不可(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件2规避1
9、个易错在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数yx(p0)的图象求得函数的最值1若实数a，b满足ab2，则ab的最大值为()A1B2C2 D4A由基本不等式得，ab1.2已知0x1，则x(33x)取最大值时x的值为()A. B.C. DA0x0，则x(33x)3x(1x)3，当且仅当x1x，即x时取等号3已知4x(x0，a0)在x3时取得最小值，则a_.364x24.当且仅当4x，即4x2a时等号成立由题意得a43236.4某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为_x由题意得(1x)2(1a)(1b)，所以1x1，所以x，当且仅当ab时等号成立5已知x0，求y的最大值解y.x0，x22，y1，当且仅当x，即x1时等号成立y的最大值为1.