1、导函数（理）1、（单调区间、极值、最值问题）已知函数其中。（1）当时，求曲线在点处的切线的斜率；（2）当时，求函数的单调区间与极值。解：（1）当时，求曲线在点处的切线的斜率为；（2）当时，在内是增函数，在内是减函数；函数在处取得极大值；函数在处取得极小值当时，在内是增函数，在内是减函数；函数在处取得极大值；函数在处取得极小值。2、（单调区间、极值、最值问题）设，函数，试讨论函数的单调性。解：对于，分段进行研究。对于，对分类： 当时，函数在上是增函数； 当时， 令，得或（舍）， 函数在上是减函数，在上是增函数；对于，对分类： 当时，函数在上是减函数； 当时，由，解得； 函数在上是减函数，在上是增
2、函数。3、（单调区间、极值、最值问题）已知函数。（1）求函数的单调区间；（2）设，求函数在上的最小值。解：（1）定义域为，令，则，当变化时，的变化情况如下表：的单调增区间为；单调减区间为。 （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，即时，在上单调递增，当时，在上单调递减， 当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，下面比较的大小，若，若，综上，当时，；当时，。4、（单调性问题）已知，函数，其中，为自然对数的底数。（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（3）函数是否为上的单调函数？若是，求出实数的取值范围；若不是，请说明理由。解：（1）当时，
3、令，即，解得。函数的单调递增区间是。（2）函数在上单调递增，对都成立，对都成立。对都成立，即对都成立；令，则，在上单调递增，。（3）若函数在上单调递减，则对都成立，即对都成立，对都成立，即，这是不可能的，故函数不可能在上单调递减；若函数在上单调递增，则对都成立，即对都成立，对都成立，而，故函数不可能在上单调递增。综上可知函数不可能是上的单调函数。5、（不等式成立问题）已知函数，。（1）求函数的单调递增区间；（2）若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围。解：（1）， 由，得，又，函数的单调递增区间为，递减区间为。 （2）不等式，即为令，当时，则不等式即为；令，在的表达式中，当时，又时，在单
4、调递增，在单调递减，在时，取得最大，最大值为，因此，对一切正整数，当时，取得最大值，实数的取值范围是。6、（不等式成立问题）已知函数。（1）求函数的单调区间；（2）若不等式恒成立，试确定实数的取值范围；（3）证明：上恒成立； 。解：（1）函数当时，则上是增函数 当时，若时，有，若时有，则上是增函数，在上是减函数；（2）由（1）知，时递增，而不成立，故，又由（1）知，要使恒成立，则即可，由；（3）由（2）知，当时有恒成立，且上是减函数，恒成立，即上恒成立；令，则，即，从而，成立。7、（不等式成立问题）已知函数，其中。（1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；（2）讨论函数的单调性；（3）若
5、对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。解：（1），由导数的几何意义得，于是，由切点在直线上可得，解得，所以函数的解析式为。（2），当时，显然，这时在，内是增函数；当时，令，解得；当变化时，的变化情况如下表：所以在，内是增函数，在，内是减函数。（3）解：由（2）知，在上的最大值为与中的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当即对任意的成立，从而得满足条件的的取值范围是。8、（不等式成立问题）设函数，其中。（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。解：（1）；当时，。令，解得，。当变化时，的变化情况如下表：
6、所以在，内是增函数，在，内是减函数。（2），显然不是方程的根；为使仅在处有极值，必须恒成立，即有；解此不等式，得，这时，是唯一极值，因此满足条件的的取值范围是。（3）由条件可知，从而恒成立。当时，；当时，。因此函数在上的最大值是与两者中的较大者。为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当即在上恒成立；所以，因此满足条件的的取值范围是。9、（不等式证明问题）设，函数。（1）令，讨论在内的单调性并求极值；（2）求证：当时，恒有。解：（1）根据求导法则有，故，于是，列表如下：故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值。（2）证明：由知，的极小值；于是由上表知，对一切，恒有；从而当时，恒有，故
7、在内单调增加；所以当时，即；故当时，恒有。10、（不等式证明问题）已知函数。（1）求在上的最小值；（2）若存在（是常数，2.71828），使不等式成立，求实数的取值范围；（3）证明对一切都有成立。解：（1）11、（不等式证明问题）已知函数。（1）求函数的单调区间和极值；（2）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明：当时，；（3）如果，且，证明。解：（1），令，则。当变化时，的变化情况如下表，略所以在区间内是增函数，在区间内是减函数；函数在处取得极大值且。（2）因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以，于是。记，则，当时，从而，又，所以，于是函数在区间上是增函数，因为，所以，当时，因此
8、。（3）若，由（1）及，得，与矛盾；若，由（1）及，得，与矛盾；则，不妨设。由（2）可知，所以。因为，所以，又，由（1），在区间内是增函数，所以，即。附：解决不等式证明问题的思路：通过构造函数，以导数为工具，证明不等式或比较大小。证明不等式在区间上成立，等价于函数在区间上的最小值等于零；而证明不等式在区间上成立，等价于函数在区间上的最小值大于零，因此不等式的证明问题可以转化为用导数求函数的极值或最值问题。12、（函数零点问题）设函数，其中。（1）当时，求曲线在点处的切线的斜率；1（2）求函数的单调区间与极值；（3）已知函数有三个互不相同的零点，且，若对任意的恒成立，求的取值范围。解：（1）当时
9、，故。所以，曲线在点处的切线的斜率为。（2），令，解得。因为，所以，。当变化时，的变化情况如下表：所以在区间，内是减函数，在内是增函数；函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。（3）由题设，所以，方程，有两个相异实根，故，由解得。因为，所以，故。如果，则，而，不合题意；如果，对任意的，有，则，又，所以，在上的最小值为，于是对任意的，恒成立的充要条件是，即，解得。注意到，于是的取值范围是。13、（函数零点问题）已知函数，其中。（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求的单调区间；（3）证明：对任意，在区间内均存在零点。14、（函数零点问题）已知，函数。（的图象连续不断）（1）求的单调区间；（2）当时，证明：存在，使；（3）若存在均属于区间的，且，使，证明：。补充1：关于函数图象的切线问题的处理方法。审题要津与解法研究第410页 题目12，第407页 题目9。补充2：审题要津与解法研究经典例题解析。
