1、8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积素养目标定方向素养目标学法指导1了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.(逻辑推理)2理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(逻辑推理)(数学运算)1求几何体的表面积时，要充分利用侧面展开图与原几何体的关系.求体积问题时，要准确把握底面积和高.2球心和球的半径是球的“灵魂”.3在许多有关球的问题中，要画出实际空间图形比较困难，可以通过构造多面体或取球的截面，把球的问题转化为多面体或平面图形的问题来解决.必备知识探新知知识点1圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底_2r2
2、_侧面积：S侧_2rl_表面积：S_2r(rl)_圆锥底面积：S底_r2_侧面积：S侧_rl_表面积：S_r(rl)_圆台上底面面积：S上底_r2_下底面面积：S下底_r2_侧面积：S侧_(rlrl)_表面积：S_(r2r2rlrl)_知识点2圆柱、圆锥、圆台的体积几何体体积说明圆柱V圆柱Sh_r2h_圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆锥V圆锥Sh_r2h_圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆台V圆台(S)h_(r2rrr2)h_圆台上底面圆的半径为r，面积为S，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h知识点3球的表面积和体积公式1球的表面积公式S_4R2_(R为球的半径).2球的体积公
3、式V_R3_.知识解读1对圆柱、圆锥、圆台侧面积与表面积的求解(1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，可直接使用公式.但圆台的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的.(2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算以上旋转体的母线长和底面圆的半径长.(3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路，那就是主要通过空间观念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问题.(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系S圆柱侧2rlS圆台侧(rr)lS圆锥侧rl.2对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识(1)等底、等高的两个圆柱的体积相同.(2)等底、等高的圆
4、锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.(3)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系VShV(SS)hVSh.(4)求圆台的体积转化为求圆锥的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积.3与球的体积、表面积有关的问题(1)球的表面积(体积)与半径之间的函数关系S球4R2V球R3从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数.(2)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.关键能力攻重难
5、题型探究题型一圆柱、圆锥、圆台的表面积典例1(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(B)A12B12C8D10(2)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积为_2_.(3)圆台的上、下底面半径和高的比为144，若母线长为10，则圆台的表面积为_168_.解析(1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2()22212.(2)由题意，母线长l2，底面半径为1，所以侧面积为122.(3)先画轴截面，再利用上、下
6、底面半径和高的比求解.圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l5r10，所以r2，R8故S侧(Rr)l(82)10100，S表S侧r2R2100464168.归纳提升求旋转体表面积的要点(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键；(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程.【对点练习】(1)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574，则圆台较小的底面半径
7、为_7_.(2)一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为_4S_.(3)(2020浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是_1_.解析(1)设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得(r3r)3r29r2574，解得r7(2)设圆柱的底面半径为R，则SR2，R，底面周长c2R.故圆柱的侧面积为S圆柱侧c2(2R)2424S.(3)设圆锥底面半径为r，母线长为l，则，解得r1，l2题型二圆柱、圆锥、圆台的体积典例2(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16，则圆锥的体积是(A
8、)ABC64D128(2)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(D)A5B6C20D10(3)已知某圆台的上、下底面面积分别是，4，侧面积是6，则这个圆台的体积是_.解析(1)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，2r，即lr，由题意得，侧面积S侧rlr216，r4l4，高h4圆锥的体积VSh424，故选A(2)用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为22520，故所求几何体的体积为10.(3)设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上r2，S下R24，
9、r1，R2，S侧(rR)l6，l2，h，V(122212).归纳提升求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.一些不规则几何体体积可以利用割补法.【对点练习】(1)若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是_12_.(2)(2020江苏卷)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是_12_cm.解析(1)易知圆锥的高h4，所以V圆锥32412.(2)正六棱柱体积为622212，圆
10、柱体积为22，所求几何体体积为12.题型三球的体积与表面积典例3(1)球的体积是，则此球的表面积是(B)A12B16CD(2)一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是(B)A12 cm3B36 cm3C64 cm3D108 cm3(3)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为_.解析(1)设球的半径为R，则由已知得R3，解得R2故球的表面积S表4R216.(2)设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示.在RtOO1A中，O1A cm，OO12 cm，球的半径ROA3(cm)，球的体积V3336(cm3).(
11、3)由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为.【对点练习】(1)(2020天津卷)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(C)A12B24C36D144(2)将本例(3)变为：圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为_100_.解析(1)这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即R3，所以，这个球的表面积为S4R243236.故选C(2)如图，由条件知，O1A3，OO14，所以OA5，所以球的表面积为100.易错警示找错内切球截面致错典例4一个球的内接正方体的表面积是54，求该球的表面积和体积.错解设正方体的棱长为a，则有6a
12、254，解得a3或a3(舍去).正方体的面对角线长d3，球的半径Rd.S球4R24218，V球R339.错因分析将球的内接正方体所取截面理解为正方体一个面所在截面，错误得到正方体的面对角线的长等于球的直径的结论.正解设正方体的棱长为a，则有6a254，解得a3或a3(舍去).正方体的体对角线长d3.球的半径Rd.S球4R24227，V球R33.误区警示正方体的一个面所在截面是球的小圆面，不是球的大圆面.解决此类问题应取正方体的体对角线所在的截面.【对点练习】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_.解析设正方体的棱长为a，则6a218，a.设球的半径为R，则由题意知2R3，R.故球的体积VR33.
