1、2.3.2抛物线的简单几何性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握抛物线的几何性质(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题(难点)1.借助直线与抛物线的位置关系，培养学生的直观想象和数学运算的素养.2.借助抛物线的几何性质解题，提升逻辑推理的素养.1抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py (p0)图形性质焦点准线xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR性质对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e12.焦点弦直线过抛物线y22px(p0)的焦点F，与抛物线交于A(x
2、1，y1)，B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|x1，|BF|x2，故|AB|x1x2p.3直线与抛物线的位置关系直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x22(kbp)xb20解的个数当k0时，若0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若0时，直线与抛物线有一个公共点；若0时，直线与抛物线没有公共点当k0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？提示可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点1设抛物线
3、的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()Ay28xBy24xCy28xDy24xC由准线方程为x2，可知抛物线的焦点在x轴正半轴上，且p4，所以抛物线的方程为y22px8x.2过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x26，则|AB|()A10B8C6D4B|AB|x1x2p628.3直线y2x1与抛物线x2y的位置关系是()A相切B相交C相离D不确定C由得2x22x10，即480)当x时，yp，由|AB|2p8，得p4.故抛物线方程为y28x，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x2.当焦点在x轴的负半轴上时，设方程y22px(p0)由对称性
4、知抛物线方程为y28x，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x2.抛物线各元素间的关系抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，为.1边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，ABx轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是()Ay2xBy2xCy2xDy2xC设抛物线方程为y2ax(a0)又A(取点A在x轴上方)，则有a，解得a，所以抛物线方程为y2x.故选C抛物线的焦点弦问题【例2】已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|
5、的值；(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离思路点拨(1)设出l的方程，与抛物线联立，消去y得关于x的一元二次方程，利用|AB|xAxBp求解(2)由代数法或几何法求解解(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60， 又F.所以直线l的方程为y.联立消去y得x25x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25，而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，|AB|538.(2)法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2px1x239，所以x1x26，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x，所以M到准线的
6、距离等于3.法二：如图，作ACl，BDl，MEl，易知|ME|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|9.1已知AB是过抛物线y22px(p0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)y1y2p2，x1x2；(2)|AB|x1x2p(为直线AB的倾斜角)；(3)SABO(为直线AB的倾斜角)；(4)；(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切2当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.2过抛物线C：y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为4，求抛物线
7、C的方程解由于抛物线的焦点F，故可设直线AB的方程为xmy.由得y22pmyp20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2p2，p24.由p0，可得p2.抛物线C的方程为y24x.直线与抛物线的位置关系探究问题1过点(1,1)与抛物线y2x有且只有一个公共点的直线有几条？提示：两条，如图2借助直线与抛物线的方程组成的方程组解的个数能否说明直线与抛物线的位置关系？提示：不一定当有两解或无解时，可以说明两者的关系，但只有一解时，需分清相交还是相切【例3】已知直线l：ykx1，抛物线C：y24x，当k为何值时，直线l与抛物线C有：(1)一个公共点？(2)两个公共点？(3)没有公共点？思路点
8、拨解将直线l和抛物线C的方程联立得消去y，得k2x2(2k4)x10.(*)当k0时，方程(*)只有一个解，为x，此时y1.直线l与抛物线C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴当k0时，方程(*)为一元二次方程，(2k4)24k2，当0，即k1且k0时，直线l与抛物线C有两个公共点，此时直线l与抛物线C相交；当0，即k1时，直线l与抛物线C有一个公共点，此时直线l与抛物线C相切；当1时，直线l与抛物线C没有公共点，此时直线l与抛物线C相离综上所述，(1)当k1或k0时，直线l与抛物线C有一个公共点；(2)当k1时，直线l与抛物线C没有公共点直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l：ykxb，抛物
9、线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2(2kb2p)xb20.(1)若k20，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合(2)若k20，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2BxC0(或Ay2ByC0)相交：有两个交点有一个交点：A0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即相离：没有公共点，即直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件1判断正误(1)在抛物线y22px(p0)中，p值
10、越大，抛物线的开口越开阔，p值越小，开口越扁狭()(2)抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形()(3)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上()(4)直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线相切()(5)直线与抛物线相交时，直线与抛物线不一定有两个公共点()答案(1)(2)(3)(4)(5)2若抛物线y22x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()AB CDA线段AB所在的直线的方程为x1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1.3.如图，过抛物线y22px(p0)焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|2|BF|，且
11、|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay23xBy29xCy2xDy2xA过A、B作l的垂线，分别交l于A1、B1点因为|BB1|BF|，|BC|2|BF|，所以B1BC60，所以A1AF60，又因为|AA1|AF|，所以|A1F|3，所以|O1F|p，所以抛物线的方程为y23x.4已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C与直线ykx2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，求k的值解(1)由题意设抛物线方程为y22px(p0)，其准线方程为x，因为P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离，所以46，所以p4，所以抛物线C的方程为y28x.(2)由消去y，得k2x2(4k8)x40.因为直线ykx2与抛物线相交于不同的两点A，B，则有k0，64(k1)0，解得k1且k0.又2，解得k2或k1(舍去)，所以k的值为2.