1、考点突破练13圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2021全国乙文20)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程;(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足=9,求直线OQ斜率的最大值.2.(2022山东济南三模)已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,且经过点P(1,).(1)求椭圆C的标准方程;(2)A,B为椭圆C上两点,直线PA与PB的倾斜角互补,求PAB面积的最大值.3.(2022湖北武汉模拟)已知P是平面上的动点,且点P与F1(-2,0),F2(2,0)的距离之差的绝对值为2.设点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)设不与y轴垂直的直线
2、l过点F1且与曲线E交于M,N两点,曲线E与x轴的交点为A,B,当|MN|4时,求的取值范围.4.(2022山东济宁三模)已知椭圆E:=1(ab0)的左、右顶点分别为A,B,F是椭圆E的右焦点,点Q在椭圆E上,且|QF|的最大值为3,椭圆E的离心率为.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若过点A的直线与椭圆E交于另一点P(异于点B),与直线x=2交于一点M,PFB的角平分线与直线x=2交于点N,求证:N是线段BM的中点.5. (2022江苏苏锡常镇二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A,B两点,过线段AB的中点M且
3、与x轴平行的直线依次交直线OA,OB,l于点P,Q,N. (1)判断线段PM与NQ长度的大小关系,并证明你的结论;(2)若线段NP上的任意一点均在以点Q为圆心、线段QO为半径的圆内或圆上,求直线AB斜率的取值范围.6.(2022福建泉州模拟)已知椭圆C的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,A(-,0),B(0,),D(2,1)中恰有两点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)P,Q两点在C上,且直线DP,DQ的斜率互为相反数,直线DP,DQ分别与直线AB交于M,N两点,证明:|DP|DN|=|DQ|DM|.考点突破练13圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.解 (1)在抛物线C中,焦点F到准线的距离为p
4、,故p=2,C的方程为y2=4x.(2)(方法一最优解)设点P(x1,y1),Q(x2,y2).又F(1,0),则=(x2-x1,y2-y1),=(1-x2,-y2).因为=9,所以x2-x1=9(1-x2),y2-y1=-9y2,得x1=10x2-9,y1=10y2.又因为点P在抛物线C上,所以=4x1,所以(10y2)2=4(10x2-9),则点Q的轨迹方程为y2=x-.易知直线OQ的斜率存在.设直线OQ的方程为y=kx,当直线OQ和曲线y2=x-相切时,斜率取得最值.由得k2x2=x-,即k2x2-x+=0,(*)当直线OQ和曲线y2=x-相切时,方程(*)的判别式=0,即-4k2=0,
5、解得k=,所以直线OQ斜率的最大值为.(方法二)同方法一得到点Q的轨迹方程为y2=x-,易知x20,所以直线OQ的斜率kOQ=,当y2=0时,kOQ=0.当y20时,kOQ=;当y20时,因为25y2+2=30,此时0kOQ,当且仅当25y2=,即y2=时,等号成立;当y20时,kOQ0),Q(x,y).因为F(1,0),=9,所以(x-4t2,y-4t)=9(1-x,-y).于是所以易知x0,则直线OQ的斜率为.当且仅当4t=,即t=时,等号成立,所以直线OQ斜率的最大值为.2.解 (1)由题意得解得故椭圆C的标准方程为=1.(2)由题意可知直线AB的斜率一定存在且不为0,设直线AB的方程为
6、y=kx+t,A(x1,y1),B(x2,y2),x11,x21,将y=kx+t代入=1,得(k2+3)x2+2ktx+t2-6=0,=4k2t2-4(k2+3)(t2-6)=2k2-t2+60,x1+x2=,x1x2=,则y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=,x1y2+x2y1=x1(kx2+t)+x2(kx1+t)=t(x1+x2)+2kx1x2=.直线PA和直线PB的倾斜角互补,kPA=-kPB=-,化简可得2+x1y2+x2y1=(y1+y2)+(x1+x2),即2,即(k-)(k+t-)=0.直线AB不过点P,k=,x1+x2=,x1x2=,t212,则|AB
7、|=.又点P到直线AB的距离为,SPAB=,当且仅当t=时,等号成立,PAB面积的最大值为.3.解 (1)依题意,|PF1|-|PF2|=20且k21,可得x1+x2=,x1x2=-,|MN|=2.因为|MN|4,所以2,解得k21或1k23.根据双曲线的对称性,不妨令A(-,0),B(,0),则=(x1+,y1)(-x2,-y2)+(x2+,y2)(-x1,-y1)=4-2x1x2-2y1y2=4-2x1x2-2k2(x1+2)(x2+2)=4-(2+2k2)x1x2-4k2(x1+x2)-8k2=.因为k21或10,所以m=2k,所以,所以N为线段BM的中点.当直线PF的斜率不存在时,点P
8、,则直线AP的方程为y=(x+2),所以点M(2,2).又因为直线FN的方程为y=x-1,所以点N(2,1).所以N为线段BM的中点.综上可知,N为线段BM的中点.5.解 (1)|PM|=|NQ|.证明如下:设A,B,y10y2,则M,N,F(1,0).由于A,F,B三点共线,则,整理得(y1y2+4)(y1-y2)=0,因为y1y2,所以y1y2=-4.lOA:y=x,则P,同理可得Q.则|PM|=,|QN|=+1=,则|PM|=|QN|.(2)若线段NP上的任意一点均在以点Q为圆心、线段QO为半径的圆内或圆上,则即化简得y1=2.又因为y1y2=-4,所以y2=-=-,kAB=2,则直线A
9、B斜率的取值范围为2.6.(1)解 因为圆C的中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,所以椭圆方程为标准方程,设为=1(a0,b0),若A,B两点在椭圆C上,则有a=b=,不合题意;若A,D两点在椭圆C上,则无解;若B,D两点在椭圆C上,则解得所以椭圆C的标准方程为=1.(2)证明 直线AB:y=x+,设直线DP的斜率为k,则直线DQ的斜率为-k,所以直线DP的方程为y-1=k(x-2),即y=kx-2k+1.直线DQ的方程为y-1=-k(x-2),即y=-kx+2k+1.设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立消去y并整理得(1+2k2)x2-4k(2k-1)x+2(2k-1)2-6=0,则2x1=,即x1=2-,同理可得x2=2-=2+,所以y1=kx1-2k+1=2k-2k+1=1-=-1-,y2=-kx2+2k+1=-2k-+2k+1=1-=-1+,所以P2-,-1-,Q2+,-1+.联立则M2+,2+,联立则N2-,2+.所以|DP|=,|DM|=,|DQ|=,|DN|=,所以|DP|DN|=,所以|DQ|DM|=,所以|DP|DN|=|DQ|DM|.