1、3.2 三角函数的综合运用考情动态分析 本节主要复习三角函数式的最值、三角函数在三角形中的应用以及以三角函数为工具解决一些实际问题. 求三角函数式的最值,常见的方法有化为一个角的一个三角函数的形式,与二次函数相结合,利用三角函数的有界性,利用函数的单调性,以及常见的求函数最值的方法等. 对三角形中问题的复习,主要是正、余弦定理以及解三角形,要掌握基本知识、概念、公式,理解其中的基本数量关系,对三角形中三角变换的综合题要求不必太难. 总之,在复习中,要立足基本公式;在解题时,要注意条件与结论的联系;在变形过程中,要不断寻找差异,讲究算理.通过本节复习掌握三角函数综合问题的一般解法,以适应高考.考
2、题名师诠释【例1】ABC中，内角A，B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列，且cosB=.()求cotA+cotC的值；()设=,求a+c的值.分析：a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边，且a,b,c成等比数列，易知求解中要用到正弦定理；求cotA+cotC的值，首先应该对其适当变形，变形时，既可用同角三角函数的关系式，也可用三角形的边角关系，然后根据变形后的具体形式计算.第()问涉及平面向量的数量积，可以先得到ac的值，再由余弦定理计算出a2+c2,即可得a+c的值.解法1：()由cosB=得sinB=. 由b2=ac及正弦定理得 sin2B=sinAsinC, 于是c
3、otA+cotC=+=+=.()由=得 cacosB=. 由cosB=，可得ca=2,即b2=2. 由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB, 得a2+c2=b2+2accosB=5,(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9, 所以a+c=3.解法2：()由cosB=得sinB=. 由a,b,c成等比数列知 b2=ac, 由正弦定理得sin2B=sinAsinC. 如右图，AC边上的高为BD.cotA+cotC=+=. 又BD=csinA=asinC, 则BD2=acsinAsinC=b2sin2B, 因此cotA+cotC=.()由=得cacosB=得，则ac=2. 由余弦定理b2=
4、a2+c2-2accosB, 且b2=ac, 所以ac=a2+c2-3,(a+c)2=a2+c2+2ac=3ac+3=9. 则a+c=3.点评：本题将三角函数、等比数列及向量知识有机结合，并不单纯考查对三角函数的恒等变形知识的掌握，而是通过三角形的边角关系，同时考查正弦定理和余弦定理.这样一道题涵盖了三角函数部分的大部分内容，而且计算并不繁琐，在考查基础知识的基础上注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，同时兼顾基础性和综合性，坚持多角度的考查，全面考查综合数学素养的要求. 本题难易适中，容易入手，只要熟练掌握了三角函数的基础知识，就可以做出本题的大部分.所以复习时关键在于对基础知识
5、的掌握，然后才是综合分析及灵活运用知识能力的培养.【例2】已知函数f(x)=,其中=(sinx+cosx,cosx),=(cosx-sinx,2sinx)(0).若f(x)相邻两对称轴间的距离不小于.(1)求的取值范围；(2)在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=,b+c=3(bc)，当最大时，f(A)=1,求边b,c的长.分析：(1)应先求出f(x)的解析式，相邻两对称轴间的距离为，从而可得出的不等式.(2)由的范围得出的最大值，确定f(x)的解析式.由f(A)=1求出A的值，再利用余弦定理得出a、b、c的关系.解：(1)f(x)= =cos2x-sin2x+2sinxcosx
6、=cos2x+sin2x=2sin(2x+).f(x)相邻两对称轴间的距离不小于，01.(2)当最大时，=1，f(x)=2sin(2x+),f(A)=1,2sin(2A+)=1,又2A+c)b=2,c=1评述：三角与向量联系紧密，应予以关注；在解三角形问题中，要善于利用正、余弦定理进行边角互化.【例3】(理)(2004浙江高考,17理)在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且cosA=.(1)求sin2+cos2A的值;(2)若a=,求bc的最大值.解：(1)sin2+cos2A=1-cos(B+C)+(2cos2A-1)=(1+cosA)+(2cos2A-1)=(1+)+-1=-
7、.(2)=cosA,bc=b2+c2-a22bc-a2.bca2.a=,bc. 当且仅当b=c=时,bc=. 故bc的最大值是.评述：本题主要考查三角函数的诱导公式、倍角公式、余弦定理及均值不等式等基础知识,考查运算能力.(文)已知向量a=(sin(-x),1),b=(1,-sin(+x).(1)当xR时，恒有ab成立.求角的值；(2)若f(x)=ab+2cos的最大值为0，且sin2=，(-，)，求cos的值.解析：(1)由题意，知=0,sin(-x)-sin(+x)=0,cossinx=0.kR,cos(-x)=0,从而=k+ (kZ).(2)f(x)=-2cossinx+2cos=2co
8、s(1-sinx),f(x)的最大值为0.而1-sinx0，cos0,cos0,sin0,从而在第三象限，(-，-)，2(-,-),cos2=-,cos=.评述：这类题要能够熟记公式，仔细运算.解题时，要注意确定三角函数值的符号.【例4】若f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为f(a).(1)用a表示f(a)的表达式；（2）求能使f(a)=的a值，并求当a取此值时f(x)的最大值.解：（1）f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x=1-2a-2acosx-2+2cos2x=2(cosx-)2-a2-2a-1.当1,即a2且cosx=1时,f(x)取得最小值，即f(a)=1-4a；当-11,即-2a2且cosx=时,f(x)取得最小值，即f(a)=-a2-2a-1；当-1,即a-2且cosx=-1时,f(x)取得最小值，即f(a)=1； 综上得f(a)=(2)若f(a)=，则a只能在-2，2内.-a2-2a-1=，得a=-1，此时f(x)=2(cosx+)2+；当cosx=1时，f(x)有最大值5.评述：用配方法来解关于sinx或cosx的二次三项式的最大（小）值问题，是一种常用的方法,但必须注意sinx或cosx的值域.
