1、专题七 直线、平面、简单几何体考情动态分析 立体几何是中学数学的重要内容，它在培养和考查学生的思维能力、运算能力、空间想象能力以及解决实际问题的能力方面具有独特的作用，因此也是高考重点考查的内容. 考查的重点与热点主要有两大类型，一是线线、线面、面面的平行与垂直的判断、推理，主要是文字语言、图形语言、符号语言的密切结合及相互转化，根据概念、性质、公理、定理进行逻辑推理和论证；二是空间的角和距离的概念及其计算. 从2006年全国及18省市的考题来看，立体几何的高考命题有以下特点:1.题型和题量较稳定，一般是二选一填一解答，分值占总分的20%，文科要求降低.2.选择题、填空题注重符号语言、文字语言
2、、图形语言在推理中的运用，更重视概念明确、关系清楚、基本运算熟练等.3.解答题形成了一些规律，一般将几何元素集中于一个几何体中，即以一个多面体或旋转体为依托（以多面体的时候较多）设置几个小问题，设问形式以证明或计算为主，也有时设置一些开放性的问题，每个小题之间有一定的联系，在突出考查逻辑思维能力的前提下，将空间想象能力和运算、推理能力相结合进行考查. 值得注意的是高考立体几何的解答题由原来的甲、乙两题中任选一题，恢复到只有一题，而且用九（A）和九（B）解法都可以，这无疑拓展了考生的思维空间，降低了思维难度，这与当今新课程改革的精神是一致的.7.1 直线与平面的位置关系考点核心整合1.空间两直线
3、（1）位置关系 相交直线在同一平面内，有且只有一个公共点. 平行直线在同一平面内，没有公共点. 异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点.（2）异面直线的定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.链接提示 注意“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”的区别.（3）异面直线的判定定理 过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线.（4）公理4 平行于同一条直线的两条直线平行. 公理4也叫做平行公理，它说明平行具有传递性，这是证明两直线平行的一个重要的理论依据.2.直线与平面垂直（1）直线和平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面内的任何一条直
4、线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直.注意定义中的“任何一条直线”这个词，它与“所有”直线是同义词，但与“无数条直线”不同.定义的实质就是直线与平面内的所有直线都垂直.和平面垂直的直线是直线和平面相交的一种特殊形式.有了这样的定义，就可判定线线垂直,即当直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线.它可以作为线线垂直的判定定理.（2）直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.符号表示:若a,b,ab=P,la,lb,则l. 定理中的关键词语是“两条相交直线”，应用此定理时，主要是设法在平面内找到两条相交直线.（3）直线和
5、平面垂直的性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 符号表示:若a,b,则ab. 作用:可作线线平行的判定定理.（4）平面的垂线、斜线、射影 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中:射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短.（5）三垂线定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；反之，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.链接思考 如果两条直线同垂直于另一条直线，那么这两条直线平行吗？答案:不一定.3.直线与平面的位置关
6、系（1）直线和平面的位置关系直线在平面内有无数个公共点.直线在平面外 划分直线与平面的位置关系的依据是直线与平面的交点个数:平行无交点；相交只有一个交点；直线在平面内至少有两个交点.（2）直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们说这条直线和这个平面平行.（3）直线和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（4）直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.考题名师诠释【例1】 下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中
7、点，能得出l面MNP的图形的序号是_.（写出所有符合要求的图形序号）解法一：如图，设正方体为ABCDA1B1C1D1. 在图中，连结AB1，则AB1MN，又AB1是l在面ABB1A1内的射影，lMN. 同理,lMP.l平面MNP.故符合. 在图中，延长MP交C1D1的延长线于点E， 连结NE，若l面MNP，则lNE. 又C1D是l在平面CDD1C1内的射影，CD1C1D，lCD1.l平面CDD1C1,矛盾.不符合. 在图中，平面MNP与图中的平面MNP不是同一平面，它们又过同一点，图不符合. 在图中，lMP,lMN,l平面MNP.延长PM交AB于点F，取CD的中点G，则GNMP，G平面MNP.
8、连结FG交BC于点H，则H平面MNP，可证H是BC的中点，图与图中的平面MNP实为同一平面.也符合.答案：解法二：（判法同解法一） 以A1B1、A1D1、A1A所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A（0，0，1）、C1（1，1，0）.l=(1,1,-1). 在图中，=（，1，）,l=+1-=10,与l不垂直.图不符合. 在图中，=（-，1，-），l=-+1+=10,与l不垂直.图不符合. 在图中，=（-，1，），=（，1）,l=-+1-=0,l=+-1=0,l, l.l平面MNP.图符合.评述：本题要先想象直观判断哪些图形符合，再加以推理.考查了空间想象能力、反
9、证法、线面的位置关系等知识.由上述两解法可看出，用空间向量求解，可大大降低思维难度，显示出了用向量解决问题的优越性.通过这个试题可看出，试题在向增加思维量、综合考查学生的各种能力转化.链接提示 想一想:如何判断直线与平面垂直？如何判断平面与平面垂直？它们有何性质？如何应用三垂线定理？【例2】已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形,ABDC,DAB=90,PA底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点.(1)证明面PAD面PCD;(2)求AC与PB所成的角;(3)求面AMC与面BMC所成二面角的大小.方法一：(1)证明:PA面ABCD,CDAD, 由三垂线定理,得CDPD. 因而C
10、D与面PAD内两条相交直线AD、PD都垂直.CD平面PAD. 又CD面PCD,面PAD面PCD.(2)解:过点B作BECA,且BE=CA, 则PBE是AC与PB所成的角. 连结AE,可知AC=CB=BE=AE=2. 又AB=2,四边形ACBE是正方形. 由PA面ABCD,得PEB=90. 在RtPEB中,BE=,PB=,cosPBE=.AC与PB所成的角为arccos.(3)解:作ANCM,垂足为N,连结BN. 在RtPAB中,AM=MB. 又AC=CB,AMCBMC.BNCM.故ANB为所求二面角的平面角.CBAC,由三垂线定理,得CBPC. 在RtPCB中,CM=MB,CM=AM. 在等腰
11、AMC中,ANMC=AC,AN=.cosANB=-. 故所求的二面角为arccos(-).方法二：PAAD,PAAB,ADAB,以A为坐标原点,AD长为长度单位,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为A(0,0,0)、B(0,2,0)、C(1,1,0)、D(1,0,0)、P(0,0,1)、M(0,1,).(1)证明:=(0,0,1),=(0,1,0),=0.APDC. 由题设知ADDC,DC面PAD. 又DC平面PCD,故面PAD面PCD.(2)解:=(1,1,0),=(0,2,-1),cos,=. 故AC与PB所成的角为arccos.(3)解:在MC上取一点N(x,y,z),则存在R,使=,=
12、(1-x,1-y,-z),=(1,0,-),x=1-,y=1,z=. 要使ANMC,只需=0, 即x-z=0,=. 当=时,N(,1,)能使=0. 此时,=(,-1,),=0.ANMC,BNMC.ANB为所求二面角的平面角.cos, = =-. 故所求的二面角为arccos(-).评述：本题主要考查线面垂直,面面垂直,线线角,二面角等知识,考查逻辑思维能力和空间想象能力及用向量解决数学问题的能力.链接提示 解决求异面直线所成角的问题，常从两个方面入手:（1）构造法:利用定义作出所求的角，常用的方法有平移、补形等；（2）向量法:利用向量的内积求两个向量的夹角进而求两异面直线的夹角.【例3】如图，
13、l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段.点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN.()证明ACNB；()若ACB=60，求NB与平面ABC所成角的余弦值.解法一：()由已知l2MN，l2l1，MNl1=M,l2平面ABN. 又AM=MB=MN,ANNB,且AN=NB. 又AN为AC在平面的射影，ACNB.()RtCNARtCNB，AC=BC,又已知ACB=60, 因此ABC为正三角形，RtANBRtCNB，NC=NA=NB,N在平面ABC的射影，H是ABC的中心，连结BH，NBH为NB与平面ABC所成的角，在RtNHB中cosNBH=.解法二：建立如图空间直角坐标系，令MN
14、=1,则有A(-1,0,0)B(1,0,0)N(0,1,0).()MN是l1、l2的公垂线，l1l2，l2平面ABN，故可设C(0，1，m)， 于是=(1,1,m),=(1,-1,0),=11+1(-1)+m0=0,ACBN.()=(1,1,m),=(-1,1,m),=, 又ACB=60,ABC为正三角形，AC=BC=AB=2, 在RtCNB中，NB=2,NC=,故C(0，1，), 连结MC作NHMC于H，设H(0，,)(0),=(0,1-,-)=(0,1,),=1-2=0,=,H(0,),=(0,-),=(-1,),=+(-)=0,即NBH即为NB与平面所成的角， 又=(-1,1,0),co
15、sNBH=.链接提示 解有关直线与平面所成的问题的关键是找垂线、找射影.【例4】如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点,面CDE是等边三角形，棱EFBC.()证明FO平面CDE；()设BC=3CD,证明EO平面CDF.()证明：取CD中点M，连结OM. 在矩形ABCD中，OMBC,又EFBC,则EFOM.连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.FOEM， 又FO平面CDE，且EM平面CDE，FO平面CDE.()证明：连结FM，由()和已知条件，在等边CDE中，CM=DM,EMCD且EM=CD=BC=EF. 因此平行四边形EFOM为菱形，从而EOFM.CDOM，CDEM
16、，CD平面EOM，从而CDEO.而FMCD=M,所以EO平面CDF.【例5】(2004湖南高考，19理)如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中，ABC=60,PA=AC=a,PB=PD=a,点E在PD上，且PEED=21.(1)证明PA平面ABCD.(2)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小.（3）在棱PC上是否存在一点F，使BF平面AEC？证明你的结论.(1)证明:底面ABCD是菱形，ABC=60,AB=AD=AC=a. 在PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2,知PAAB. 同理，PAAD.PA平面ABCD.(2)解:作EGPA交AD于点G， 由PA平面ABCD,知EG平面ABCD. 作GHAC于点H，连结EH，则EHAC,EHG即为二面角的平面角. 又PEED=21,EG=a,AG=a,GH=AGsin60=a. 从而tan=,=30.(3)解:当F是棱PC的中点时,BF平面AEC. 证明如下: 取PE的中点M,连结FM,则FMCE,故FM平面AEC. 由EM=PE=ED,知E是MD的中点. 连结BM、BD,设BDAC=O,则O为BD的中点.BMOE.故BM平面AEC. 由知,平面BFM平面AEC. 又BF平面BFM,BF平面AEC.评述:对于这类存在性问题,一般思路是先假设命题成立,然后探求使命题成立的条件.
