1、第34讲 随机变量及其分布列学校_ 姓名_ 班级_一、 知识梳理随机变量及其分布列的数字特征1.离散型随机变量一般地，如果随机试验的样本空间为，而且对于中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量.其所有可能的取值都是可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列一般地，若离散型随机变量X的取值范围是x1，x2，xn，如果对任意k1，2，n，概率P(Xxk)pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的，离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列.Xx1x2xkxnPp1p2pkpn3.离散型随机变量的分布列的
2、性质(1)pk0，k1，2，n；(2)pkp1p2pn1.4.离散型随机变量的数学期望与方差、标准差一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示Xx1x2xkxnPp1p2pkpn(1)均值称E(X)x1p1x2p2xnpnxipi为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望).(2)方差D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2pnxiE(X)2pi，能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差.(3)标准差称称为离散型随机变量X的标准差，它也可以刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小).5.均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)
3、b.(2)D(aXb)a2D(X)(a，b为常数).分布列1.n次独立试验与二项分布(1)n次独立重复试验在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.(2)二项分布一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q1p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是0，1，k，n，而且P(Xk)Cpkqnk，k0，1，n，因此X的分布列如下表所示X01knPCp0qnCp1qn1CpkqnkCpnq0注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(qp)nCp0qnCp1qn1CpkqnkCpnq
4、0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作XB(n，p).2.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p).(2)若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p).3.超几何分布一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(MN)，从所有物品中随机取出n件(nN)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s为M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即nNM)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即tn(NM)，而且P(Xk)，kt，t1，s，这里的X称为服从参数
5、为N，n，M的超几何分布，记作XH(N，n，M).4.正态分布(1)正态曲线(x)e，(x)的解析式中含有和两个参数，其中：E(X)，即X的均值；，即X的标准差.(x)也常常记为，(x).(2)正态曲线的一些性质正态曲线关于x对称(即决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点；正态曲线与x轴所围成的图形面积为1；决定正态曲线的“胖瘦”；越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(X)68.3%；P(2X2)95.4%；P(3X3)99.7%.(4)正态分布的均值与
6、方差若XN(，2)，则E(X)，D(X)2.二、 考点和典型例题1、随机变量及其分布列的数字特征【典例1-1】设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件数，则（）ABCD【典例1-2】已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（）A2B1CD【典例1-3】已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)X0123P0.20.30.4a则下列计算结果正确的是（）ABCD【典例1-4】已知随机变量的分布列为下表所示，若，则（）ABC1D【典例1-5】已知随机变量X的分布列如下：236Pa则的值为（）A2B6C
7、8D182、分布列【典例2-1】一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（）AX表示取出的最小号码B若有放回的取球时，X表示取出的最大号码C取出一个红球记2分，取一个黄球记1分，X表示取出的4个球的总得分D若有放回的取球时，X表示取出的黄球个数【典例2-2】设随机变量，满足：，若，则（）A3BC4D【典例2-3】已知随机变量服从二项分布，当时，的最大值是（）ABCD【典例2-4】某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证
8、抽取的合格零件不少于2件的概率不低于，则n的最小值为（）A7B6C5D4【典例2-5】设随机变量，若，则（）ABCD3、分布列的综合应用【典例3-1】甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问：(1)在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大？(2)若采用三局二胜制，求比赛场次的分布列及数学期望【典例3-2】选手参加电视台举办的“中国诗词大会”竞答比赛选手对每个问题回答的结果，只能是正确或错误两种情况，每个问题回答正确的概率为选手首先依次回答3个问题，一旦出观2个问题回答错误，则被淘汰：如果3个问题回答都正确，则算过关
9、；如果3个问题中有1个回答错误，则进入下一轮附加赛，选手再依次回答2个新问题，一旦出现问题回答错误，则也被淘汰；若2个问题回答都正确，则也算过关选手回答每个问题正确与否是相互独立的(1)求选手过关的概率；(2)若选手回答一个问题耗时3分钟，试估计选手平均用11分钟能否完成这个竞答比赛？【典例3-3】“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组15，25），第2组25，35），第3组35，45），第4组45，55），第5组55，65，得到的频率分布
10、直方图如图所示.(1)求的值，并求这200人年龄的中位数（保留一位小数）；(2)现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选出3人进行问卷调查，记为选出的3人中属于第1组的人数，求的分布列和数学期望；【典例3-4】W企业D的产品p正常生产时，产品p尺寸服从正态分布，从当前生产线上随机抽取200件产品进行检测，产品尺寸汇总如下表产品尺寸/mm76，78.5(78.5，79(79，79.5(79.5，80.5件数4272780产品尺寸/mm(80.5，81(81，81.5(81.5，83件数36206根据产品质量标准和生产线的实际情况，产品尺寸在以外视为小概率事件一
11、旦小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在以内为正品，以外为次品， ，(1)判断生产线是否正常工作，并说明理由；(2)用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费10元/件，次品检测费15元/件，记这3件产品检测费为随机变量，求的数学期望及方差【典例3-5】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，（1）已知，求；（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，当时，；（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义