1、听课随笔第10课时基本不等式的证明(1)【学习导航】 知识网络 内容及证法算术平均数和几何平均数基本不等式变形及证明其它不等式几何解释学习要求 1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系. 2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式. 3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.【课堂互动】自学评价 算术平均数： 见书 几何平均数 见书 设a0,b0则与的关系为 基本不等式的证明方法：比较法分析法，综合法【精典范例】例1.设a、b为正数, 求证明：见书（共有三个方法）点评：不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)分析法(3)
2、综合法本题对a0,b时仍成立，且题中等号当且仅当a=b时成立把不等式 (a0,b0)称为基本不等式 4.由本题可知，两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当两数相等时两者相等5.基本不等式的几何解释：半径不小于半弦例2. 利用基本不等式证明下列不等式：(1) 已知a0,求证 a+ (2).已知a, b, cR , 求证: a2+b2+c2ab+bc+ac .(3).已知x , y , z是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (证明：因为题目简单，证略点评：1.基本不等式的变形公式：(1) (2) (3) (4) 【师生互动】学生质疑教师释疑2.学会多次运用和创造条件运用基本不等
3、式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成六项，分成三组对每一组用基本不等式注意严格不等式的证明方法思维点拔：听课随笔1.上面两例在于：(1)揭示基本不等式的内容与证法(2)举例说明利用基本不等式证题的方法技巧，以让学生初步领会不等式证明的基本方法基本不等式的推广：n个(n1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数即若ai0(i=1,2,n),则(n1,nN)追踪训练设为正数，求下列各组数的算术平均数与几何平均数（）与答案：，（）与答案：.，6（）与答案：p，3p（）与答案：p2+1，2p已知a1求证a+3略证已知a+b+c=1,求证a2+b2+c2提示：只要证3(a2+b2+c2）1即可已知a , b , c不全相等的三个正数, 且abc=1 , 求证: 注意：利用基本不等式证明时要交代等号为何不能成立 高考资源网%
