1、第29讲 抛物线学校_ 姓名_ 班级_一、 知识梳理1.抛物线的定义(1)一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.(2)其数学表达式：M|MF|d(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y22px (p0)y22px (p0)x22py (p0)x22py (p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下二
2、、 考点和典型例题1、抛物线的定义和标准方程【典例1-1】过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则的值为（）AB2CD【答案】C【详解】如图所示，设，因为，所以点到准线的距离为3，所以，得，因为，所以，所以，得，所以的值为，故选：C【典例1-2】抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（）ABCD2【答案】A【详解】由题意知，焦点坐标为，准线方程为，由到焦点距离等于到准线距离，得，则，可得，故选：A.【典例1-3】已知抛物线上的一点到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为（）A2B3C4D5【答案】A【详解】由题可知，抛物线准线，可得，解得，所以该抛物线的焦点到
3、其准线的距离为.故选：A.【典例1-4】焦点在直线上的抛物线的标准方程为（）A或B或C或D或【答案】B【详解】解：直线与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，-3），当以（4，0）为焦点时，抛物线的标准方程为，当由（0，-3）为焦点时，抛物线的标准方程为，故选：B【典例1-5】已知直线恒过定点，抛物线：的焦点坐标为，为抛物线上的动点，则的最小值为（）A1B2C3D4【答案】C【详解】方程可化为，所以直线恒过定点，因为抛物线：的焦点坐标为，所以，即，所以，过点作准线，垂足为，则，过点作准线，垂足为， 所以，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为3，故选：C.2、抛物线的几何性质及应用【典
4、例2-1】对抛物线，下列描述正确的是（）A开口向上，焦点为B开口向上，焦点为C开口向右，焦点为D开口向右，焦点为【答案】A【详解】由题知，该抛物线的标准方程为，则该抛物线开口向上，焦点坐标为.故选：A.【典例2-2】已知过点的直线与抛物线相交于，两点，点，若直线，的斜率分别为，则的取值范围是（）ABCD【答案】C【详解】因为过点的直线与抛物线相交于，两点，所以可设，直线的方程为：，由得，因此，且，又直线，的斜率分别为，点，所以，因此，当时，；当时，且，当且仅当，即时，等号成立；所以；当时，且，当且仅当，即时，等号成立；所以，综上.故选：C.【典例2-3】抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不
5、同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是ABCD【答案】B【详解】解：如图，可得圆心也是抛物线的焦点，过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得故的周长，由可得，.的取值范围为的周长的取值范围为故选：.【典例2-4】已知圆与抛物线相交于M，N，且，则（）AB2CD4【答案】B【详解】因为圆与抛物线相交于M，N，且，由对称性，不妨设，代入抛物线方程，则，解得，所以，故故选：B【典例2-5】已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（）A4B8C10D16【答案】B【详解】以为圆心，半径为5的圆的方程为,由抛物线，得到抛物线关于x轴对称，又上面的圆的圆
6、心在x轴上，圆的图形也关于x轴对称，它们的交点A,B关于x轴对称，因为|AB|=8，A,B点的纵坐标的绝对值都是4，它们在抛物线上，于是A点的横坐标的值,不妨设A在x轴上方，则A点的坐标为,又A在圆上，,解得,故选：B.3、抛物线的综合问题【典例3-1】已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值的为（）ABCD【答案】C【详解】由题意知：，；，；令，则，则当，即时，取最大值，此时.故选：C.【典例3-2】如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（）A23B26C36D62【答案】B【详解】解法一：设抛物
7、线的方程，则，得，所以抛物线方程为，焦点，圆，圆心，半径，可得圆心恰好是抛物线的焦点，即直线l过焦点F.设直线l的方程为：，设P、Q坐标分别为和，由联立，得，当且仅当，即，时取等号.解法二：，又，当且仅当，即，时等号成立.故选：B.【典例3-3】已知直线l过点，且垂直于x轴若l被抛物线截得的线段长为，则抛物线的焦点坐标为（）ABCD【答案】A【详解】当时，显然，解得，故，解得，故抛物线，焦点坐标为故选：A【典例3-4】已知点在抛物线上.(1)求抛物线C的方程；(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，O为坐标原点，求证：为定值.【解析】(1)点在抛物线C上，解得，抛物线C的方程为.(2)证明：设直线，联立，消去y可得，由韦达定理有，即得证.【典例3-5】已知抛物线的焦点为，为坐标原点(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为求抛物线的标准方程；(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长【答案】(1)(2)【解析】(1)由抛物线方程知：，为抛物线的通径，则，解得：，抛物线的标准方程为：.(2)为正三角形，由抛物线对称性可知：轴，设，则，解得：，解得：，即的边长为.